Zonogon - Zonogon

Osmiboký zonogon

Mozaikování nepravidelnými šestiúhelníkovými zonogony

Pravidelný osmiúhelník vedle sebe čtverce a kosočtverce

V geometrii, a zonogon je centrálně symetrický konvexní mnohoúhelník.^[1] Ekvivalentně se jedná o konvexní mnohoúhelník, jehož strany lze seskupit do paralelních párů se stejnou délkou a opačnou orientací.

Příklady

A pravidelný mnohoúhelník je zonogon právě tehdy, má-li sudý počet stran.^[2] Čtverec, pravidelný šestiúhelník a pravidelný osmiúhelník jsou tedy všechny zonogony. Čtyřstranné zonogony jsou čtverec, obdélníky, kosočtverec a rovnoběžníky.

Obklady a ekvidisekce

Čtyřstranné a šestistranné zonogony jsou rovnoběžníky, kteří jsou schopni obkládat letadlo překládanými kopiemi sebe sama a všechny konvexní rovnoběžky mají tento tvar.^[3]

Každý ${ displaystyle 2n}$ -stranný zonogon lze obložit ${ displaystyle { tbinom {n} {2}}}$ čtyřstranné zonogony.^[4] V tomto obkladu je jeden čtyřstranný zonogon pro každou dvojici svahů stran v ${ displaystyle 2n}$ -stranný zonogon. Alespoň tři vrcholy zonogonu musí být vrcholy pouze jednoho ze čtyřstranných zonogonů v jakémkoli takovém obkladu.^[5] Například pravidelný osmiúhelník lze obkládat dvěma čtverci a čtyřmi 45 ° kosočtverci.^[6]

V generalizaci Monskyho věta, Paul Monsky (1990 ) dokázal, že žádný zonogon nemá ekvidisekce do lichého počtu trojúhelníků o stejné ploše.^[7]^[8]

Další vlastnosti

V ${ displaystyle n}$ - maximálně jednostranný zonogon ${ displaystyle 2n-3}$ páry vrcholů mohou být v jednotkové vzdálenosti od sebe navzájem. Existují ${ displaystyle n}$ - jednostranné zonogony s ${ displaystyle 2n-O ({ sqrt {n}})}$ páry na jednotku vzdálenosti.^[9]

Související tvary

Zonogony jsou dvourozměrné analogy trojrozměrných zonohedra a zonotopy vyšší dimenze. Každý zonogon lze tedy generovat jako Minkowského součet kolekce úseček v rovině.^[1] Pokud žádné dva generující se segmenty čáry nejsou rovnoběžné, bude pro každý segment čáry jeden pár rovnoběžných hran. Každá tvář zonohedronu je zonogon a každý zonogon je tváří alespoň jednoho zonohedronu, hranolu nad tímto zonogonem. Kromě toho je každý rovinný průřez středem centrálně symetrického mnohostěnu (například zonohedron) zonogon.

Reference

^ ^A ^b Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Exkurze do kombinatorické geometrie, Springer, str. 319, ISBN 9783642592379
^ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Rovinná geometrie, H. Holt, s. 121, Pokud má pravidelný mnohoúhelník sudý počet stran, jeho střed je středem souměrnosti mnohoúhelníku
^ Alexandrov, A. D. (2005), Konvexní mnohostěn, Springer, str.351, ISBN 9783540231585
^ Beck, József (2014), Pravděpodobná diofantická aproximace: Náhodnost v počítání mřížových bodů, Springer, str. 28, ISBN 9783319107417
^ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Matematické olympiády 1998-1999: Problémy a řešení z celého světa, Cambridge University Press, str. 125, ISBN 9780883858035
^ Frederickson, Greg N. (1997), Pitvy: Letadlo a fantazie, Cambridge University Press, Cambridge, str.10, doi:10.1017 / CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, PAN 1735254
^ Monsky, Paul (1990), „Domněnka Steina o rovinných pitvách“, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583–592, doi:10.1007 / BF02571264, PAN 1082876
^ Stein, Shermane; Szabó, Sandor (1994), Algebra a obklady: Homomorfismy ve službě geometrie Matematické monografie Carus, 25, Cambridge University Press, str. 130, ISBN 9780883850282
^ Ábrego, Bernardo M .; Fernández-Merchant, Silvia (2002), „Problém jednotkové vzdálenosti pro centrálně symetrické konvexní polygony“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 28 (4): 467–473, doi:10.1007 / s00454-002-2882-5, PAN 1949894

[bms-1] A ^b Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Exkurze do kombinatorické geometrie, Springer, str. 319, ISBN 9783642592379

[ys-2] Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Rovinná geometrie, H. Holt, s. 121, Pokud má pravidelný mnohoúhelník sudý počet stran, jeho střed je středem souměrnosti mnohoúhelníku

[aa-3] Alexandrov, A. D. (2005), Konvexní mnohostěn, Springer, str.351, ISBN 9783540231585

[beck-4] Beck, József (2014), Pravděpodobná diofantická aproximace: Náhodnost v počítání mřížových bodů, Springer, str. 28, ISBN 9783319107417

[mo-5] Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Matematické olympiády 1998-1999: Problémy a řešení z celého světa, Cambridge University Press, str. 125, ISBN 9780883858035

[gnf-6] Frederickson, Greg N. (1997), Pitvy: Letadlo a fantazie, Cambridge University Press, Cambridge, str.10, doi:10.1017 / CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, PAN 1735254

[monsky-7] Monsky, Paul (1990), „Domněnka Steina o rovinných pitvách“, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583–592, doi:10.1007 / BF02571264, PAN 1082876

[ss-8] Stein, Shermane; Szabó, Sandor (1994), Algebra a obklady: Homomorfismy ve službě geometrie Matematické monografie Carus, 25, Cambridge University Press, str. 130, ISBN 9780883850282

[af-9] Ábrego, Bernardo M .; Fernández-Merchant, Silvia (2002), „Problém jednotkové vzdálenosti pro centrálně symetrické konvexní polygony“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 28 (4): 467–473, doi:10.1007 / s00454-002-2882-5, PAN 1949894

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]