Interceptní věta - Intercept theorem

Konstrukce výrobku

Konstrukce inverzní

Rozdělení libovolného úsečkového segmentu ${ displaystyle { overline {AB}}}$ v ${ displaystyle m: n}$ poměr, nakreslete libovolný úhel v A s ${ displaystyle { overline {AB}}}$ jako jedna noha. Na konstrukci druhé nohy ${ displaystyle m + n}$ ekvidistantní body, poté nakreslete čáru přes poslední bod a B a rovnoběžku přes mbod. Tato rovnoběžka se dělí ${ displaystyle { overline {AB}}}$ v požadovaném poměru. Grafika vpravo ukazuje rozdělení úsečkového segmentu ${ displaystyle { overline {AB}}}$ v ${ displaystyle 5: 3}$ poměr.^[4]

Interceptní teorém lze použít k určení vzdálenosti, kterou nelze měřit přímo, jako je šířka řeky nebo jezera, výška vysokých budov apod. Grafika vpravo ukazuje měření šířky řeky. Segmenty ${ displaystyle | CF |}$,${ displaystyle | CA |}$,${ displaystyle | FE |}$ se měří a používají k výpočtu požadované vzdálenosti ${ displaystyle | AB | = { frac {| AC || FE |} {| FC |}}}$.

Pokud jsou spojeny středy dvou stran trojúhelníku, pak je výsledný úsečka rovnoběžná se třetí stranou trojúhelníku (teorém o středech trojúhelníků).

Pokud jsou spojeny středy dvou nerovnoběžných stran lichoběžníku, je výsledný úsečka rovnoběžná s dalšími dvěma stranami lichoběžníku.

Od té doby ${ displaystyle CA paralelní BD}$, nadmořské výšky ${ displaystyle trojúhelník CDA}$ a ${ displaystyle trojúhelník CBA}$ jsou stejně dlouhé. Jelikož tyto trojúhelníky sdílejí stejnou základní linii, jejich oblasti jsou identické. Takže máme ${ displaystyle | trojúhelník CDA | = | trojúhelník CBA |}$ a proto ${ displaystyle | trojúhelník SCB | = | trojúhelník SDA |}$ také. To přináší

${ displaystyle { frac {| trojúhelník SCA |} {| trojúhelník CDA |}} = { frac {| trojúhelník SCA |} {| trojúhelník CBA |}}}$ a ${ displaystyle { frac {| trojúhelník SCA |} {| trojúhelník SDA |}} = { frac {| trojúhelník SCA |} {| trojúhelník SCB |}}}$

Zapojením vzorce pro trojúhelníkové oblasti (${ displaystyle { tfrac {{ text {baseline}} cdot { text {nadmořská výška}}} {2}}}$) to transformuje na

${ displaystyle { frac {| SC || AF |} {| CD || AF |}} = { frac {| SA || EC |} {| AB || EC |}}}$ a ${ displaystyle { frac {| SC || AF |} {| SD || AF |}} = { frac {| SA || EC |} {| SB || EC |}}}$

Zrušení společných faktorů má za následek:

(A) ${ displaystyle , { frac {| SC |} {| CD |}} = { frac {| SA |} {| AB |}}}$ a (b) ${ displaystyle , { frac {| SC |} {| SD |}} = { frac {| SA |} {| SB |}}}$

Nyní použijte (b) k nahrazení ${ displaystyle | SA |}$ a ${ displaystyle | SC |}$ v):${ displaystyle { frac { frac {| SA || SD |} {| SB |}} {| CD |}} = { frac { frac {| SB || SC |} {| SD |}} {| AB |}}}$

Opětovné použití (b) to zjednodušuje na: (c) ${ displaystyle , { frac {| SD |} {| CD |}} = { frac {| SB |} {| AB |}}}$${ displaystyle , square}$

Nakreslete další rovnoběžku s ${ displaystyle SD}$ až A. Tato paralela protíná ${ displaystyle BD}$ v G. Pak jeden má ${ displaystyle | AC | = | DG |}$ a kvůli nároku 1 ${ displaystyle { frac {| SA |} {| SB |}} = { frac {| DG |} {| BD |}}}$a proto${ displaystyle { frac {| SA |} {| SB |}} = { frac {| AC |} {| BD |}}}$

${ displaystyle square}$

Převzít ${ displaystyle AC}$ a ${ displaystyle BD}$ nejsou paralelní. Pak rovnoběžka k ${ displaystyle AC}$ přes ${ displaystyle D}$ protíná se ${ displaystyle SA}$ v ${ displaystyle B_ {0} neq B}$. Od té doby ${ displaystyle | SB |: | SA | = | SD |: | SC |}$ je pravda, máme
${ displaystyle | SB | = { frac {| SD || SA |} {| SC |}}}$
a na druhé straně z nároku 2, který máme
${ displaystyle | SB_ {0} | = { frac {| SD || SA |} {| SC |}}}$.
Tak ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle B_ {0}}$ jsou na stejné straně ${ displaystyle S}$ a mít stejnou vzdálenost ${ displaystyle S}$, což znamená ${ displaystyle B = B_ {0}}$. To je rozpor, takže předpoklad nemohl být pravdivý, což znamená ${ displaystyle AC}$ a ${ displaystyle BD}$ jsou skutečně paralelní ${ displaystyle square}$