Carlyle kruh - Carlyle circle

v matematika, a Carlyle kruh (pojmenováno pro Thomas Carlyle ) je jisté kruh v souřadnicová rovina spojené s a kvadratická rovnice. Kruh má vlastnost, kterou řešení kvadratické rovnice jsou vodorovné souřadnice průsečíků kružnice s horizontální osa. K vývoji byly použity kruhy Carlyle pravítko a kompas z pravidelné mnohoúhelníky.

Definice

Carlyle kruh kvadratické rovnice X2 − sx + p = 0.

Vzhledem k kvadratické rovnici

X2 − sx + p = 0

kruh v souřadnicová rovina s úsečkou spojující body A(0, 1) a B(s, p), protože průměr se nazývá Carlyle kruh kvadratické rovnice. [1][2][3]

Definování vlastnosti

Definující vlastnost kružnice Carlyle může být stanovena takto: rovnice kružnice mající úsečku AB jako průměr je

X(X − s) + (y − 1)(y − p) = 0.

The abscisy bodů, kde kružnice protíná X-osy jsou kořeny rovnice (získané nastavením y = 0 v rovnici kruhu)

X2 − sx + p = 0.

Konstrukce pravidelných mnohoúhelníků

Stavba pravidelné Pentagon pomocí kruhů Carlyle
Stavba pravidelného heptadekagon pomocí kruhů Carlyle
Stavba pravidelného 257-gon pomocí kruhů Carlyle

Pravidelný pětiúhelník

Problém konstrukce pravidelného pětiúhelníku je ekvivalentní problému konstrukce kořenů rovnice

z5 − 1 = 0.

Jedním z kořenů této rovnice je z0 = 1 což odpovídá bodu P0(1, 0). Když odstraníme faktor odpovídající tomuto kořenu, ostatní kořeny se ukáží jako kořeny rovnice

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

Tyto kořeny mohou být reprezentovány ve formě ω, ω2, ω3, ω4 kde ω = exp (2πi/ 5). Nechť odpovídají bodům P1, P2, P3, P4. Pronájem

p1 = ω + ω4, p2 = ω2 + ω3

my máme

p1 + p2 = −1, p1p2 = -1. (Dá se rychle ukázat, že jsou pravdivé přímou substitucí do výše uvedené kvartiky a konstatováním, že ω6 = ω a ω7 = ω2.)

Tak p1 a p2 jsou kořeny kvadratické rovnice

X2 + X − 1 = 0.

Carlyleova kružnice spojená s tímto kvadratem má průměr s koncovými body na (0, 1) a (-1, -1) a střed na (-1/2, 0). Carlylovy kruhy se používají ke konstrukci p1 a p2. Z definic p1 a p2 z toho také vyplývá

p1 = 2 cos (2π/5), p2 = 2 cos (4π/5).

Ty se pak používají ke konstrukci bodů P1, P2, P3, P4.

Tento podrobný postup zahrnující kruhy Carlyle pro konstrukci pravidelných pětiúhelníky je uveden níže.[3]

  1. Nakresli kruh do kterého vepsat pětiúhelník a označit středový bodÓ.
  2. Nakreslete vodorovnou čáru středem kruhu. Označte jeden průsečík s kružnicí jako bodB.
  3. Postavte svislou čáru středem. Označte jeden průsečík s kružnicí jako bod A.
  4. Postavte bod M jako střed Ó a B.
  5. Nakreslete kruh se středem na M skrz bod A. Toto je kruh Carlyle pro X2 + X - 1 = 0. Označte jeho průsečík s vodorovnou čarou (uvnitř původní kružnice) jako bod Ž a jeho průsečík mimo kruh jako bod PROTI. To jsou body p1 a p2 zmíněno výše.
  6. Nakreslete kruh o poloměru OA a střed Ž. Protíná původní kruh na dvou vrcholech pětiúhelníku.
  7. Nakreslete kruh o poloměru OA a střed PROTI. Protíná původní kruh ve dvou vrcholech pětiúhelníku.
  8. Pátý vrchol je průsečík vodorovné osy s původní kružnicí.

Pravidelný heptadekagon

Existuje podobná metoda, která zahrnuje Carlylovy kruhy pro konstrukci pravidelných heptadecagons.[3] Obrázek vpravo ilustruje postup.

Pravidelný 257 gon

Postavit pravidelnou 257-gon pomocí kruhů Carlyle má být vytvořeno až 24 kruhů Carlyle. Jedním z nich je kruh k řešení kvadratické rovnice X2 + X − 64 = 0.[3]

Pravidelný 65537 gon

Existuje postup zahrnující kruhy Carlyle pro konstrukci pravidelného 65537-gon. Provádění postupu však má praktické problémy; například vyžaduje konstrukci Carlyleho kruhu pro řešení kvadratické rovnice X2 + X − 214 = 0.[3]

Dějiny

Carlyleovo řešení Leslieho problému. Segment černé čáry je rozdělen na dva segmenty takovým způsobem, že dva segmenty tvoří obdélník (zelený), který má stejnou plochu jako jiný daný obdélník (červený).

Podle Howard Eves (1911–2004) matematik John Leslie (1766–1832) popsal ve své knize geometrickou konstrukci kořenů kvadratické rovnice s kruhem Prvky geometrie a poznamenal, že tuto myšlenku poskytl jeho bývalý student Thomas Carlyle (1795–1881).[4] Přestože popis v Leslieho knize obsahuje analogickou konstrukci kruhu, byl představen pouze v elementárních geometrických pojmech bez představy kartézského souřadného systému nebo kvadratické funkce a jejích kořenů:[5]

Chcete-li rozdělit přímku, ať už interně nebo externě, tak, aby obdélník pod jeho segmenty byl ekvivalentní danému obdélníku.

— John Leslie, Prvky geometrie, prop. XVII, s. 176[5]

V roce 1867 rakouský inženýr Eduard Lill zveřejnil grafickou metodu k určení kořenů polynomu (Lillina metoda ). Je-li aplikován na kvadratickou funkci, získá lichoběžníkový obraz z Carlyleho řešení Leslieho problému (viz obrázek), přičemž jedna z jeho stran je průměrem Carlyleho kruhu. V článku z roku 1925 GA Miller poukázal na to, že mírná modifikace Lillovy metody aplikované na normovanou kvadratickou funkci poskytuje kruh, který umožňuje geometrickou konstrukci kořenů této funkce, a dala výslovnou moderní definici toho, co se později mělo nazývat Carlyle kruh.[6]

Eves použil kruh v moderním smyslu v jednom z cvičení své knihy Úvod do dějin matematiky (1953) a poukázal na souvislost s Leslie a Carlyle.[4] Pozdější publikace začaly přijímat jména Carlyle kruh , Carlylova metoda nebo Carlylův algoritmus, ačkoli v německy mluvících zemích termín Lill kruh (Lill-Kreis) se také používá.[7] DeTemple vymyslel kruhy Carlyle v letech 1989 a 1991 Konstrukce kompasu a pravítka pro pravidelné polygony, zejména pro Pentagon, heptadekagon, 257-gon a 65537-gon. Ladislav Beran popsal v roce 1999, jak lze Carlylův kruh použít ke konstrukci komplexních kořenů normované kvadratické funkce.[8]

Reference

  1. ^ E. John Hornsby, ml .: Geometrická a grafická řešení kvadratických rovnic. The College Mathematics Journal, Vol. 21, č. 5 (listopad 1990), str. 362–369 (JSTOR )
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Carlyle Circle“. From MathWorld — A Wolfram Web Resource. Citováno 21. května 2013.
  3. ^ A b C d E DeTemple, Duane W. (únor 1991). „Kruhy Carlyle a Lemoineova jednoduchost polygonových konstrukcí“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 98 (2): 97–208. doi:10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Archivovány od originál (PDF) dne 2015-12-21. Citováno 6. listopadu 2011. (JSTOR )
  4. ^ A b Viz například Hornsby, DeTemple nebo Howard Eves: Úvod do dějin matematiky. Holt, Rinehart a Winston, 3. vydání, 1969, s. 73
  5. ^ A b John Leslie: Prvky geometrie a rovinné trigonometrie: S dodatkem a bohatými poznámkami a ilustracemi. Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, s. 176, 340 (online kopie (Google) ). Všimněte si, že komentář o Carlyle není obsažen v dřívějších vydáních knihy (1809, 1811).
  6. ^ G. A. Miller: Geometrické řešení kvadratické rovnice. Matematický věstník, sv. 12, č. 179 (prosinec, 1925), s. 500–501 (JSTOR )
  7. ^ Rainer Kaenders (ed.), Reinhard Schmidt (ed.): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Springer Spektrum, 2. vydání, 2014, ISBN  978-3-658-04222-6, str. 68-71 (Němec)
  8. ^ Ladislav Beran: Složité kořeny kvadratické z kruhu. Matematický věstník, sv. 83, č. 497 (červenec, 1999), str. 287–291 (JSTOR )