Theodorova spirála - Spiral of Theodorus

Theodorova spirála až k trojúhelníku s přeponou

{ displaystyle { sqrt {17}}}

v geometrie, Theodorova spirála (také zvaný spirála druhé odmocniny, Einsteinova spirála nebo Pytagorova spirála)^[1] je spirála složen z pravé trojúhelníky, umístěné od okraje k okraji. Bylo pojmenováno po Theodorus z Kyrény.

Konstrukce

Spirála je zahájena znakem rovnoramenný pravý trojúhelník, s každým noha s jednotkou délka. Je vytvořen další pravý trojúhelník, an automatický trojúhelník vpravo s jednou nohou je přepona předchozího trojúhelníku (s délkou √2 ) a druhá noha má délku 1; délka přepony tohoto druhého trojúhelníku je √3. Proces se pak opakuje; the nten trojúhelník v pořadí je pravý trojúhelník s délkami stran √n a 1 as přeponou √n + 1. Například 16. trojúhelník má strany o rozměrech 4 (=√16), 1 a přepona √17.

Historie a použití

Ačkoli byla veškerá Theodorova práce ztracena, Platón dal Theodora do jeho dialogu Theaetetus, který vypráví o jeho práci. Předpokládá se, že Theodorus dokázal, že všechny odmocniny jiných než čtvercových celých čísel od 3 do 17 jsou iracionální pomocí Theodorovy spirály.^[2]

Platón nepřisuzuje iracionalitu druhá odmocnina ze 2 Theodorovi, protože to bylo před ním dobře známo. Theodorus a Theaetetus rozdělili racionální čísla a iracionální čísla do různých kategorií.^[3]

Přepona

Přepony každého z trojúhelníků h_n dává odmocnina odpovídajících přirozené číslo, s h₁ = √2.

Platón, vychovaný Theodorem, se ptal, proč se Theodorus zastavil √17. Důvodem je obvykle věřil, že √17 přepona patří k poslednímu trojúhelníku, který nepřekrývá obrázek.^[4]

Překrývající se

V roce 1958 Erich Teuffel dokázal, že žádné dva přepony se nikdy neshodují, bez ohledu na to, jak daleko spirála pokračuje. Také pokud jsou strany délky jednotky prodlouženy do a čára, nikdy neprojdou žádným z ostatních vrcholů celkové postavy.^[4]^[5]

Rozšíření

Barevná prodloužená spirála Theodora se 110 trojúhelníky

Theodorus zastavil svou spirálu na trojúhelníku s přeponou √17. Pokud spirála pokračuje v nekonečně mnoha trojúhelnících, najde se mnoho dalších zajímavých charakteristik.

Tempo růstu

Úhel

Pokud φ_n je úhel nth trojúhelník (nebo spirální segment), pak:

{ displaystyle tan left ( varphi _ {n} right) = { frac {1} { sqrt {n}}}.}

Proto je růst úhlu φ_n dalšího trojúhelníku n je:^[1]

{ displaystyle varphi _ {n} = arctan left ({ frac {1} { sqrt {n}}} right).}

Součet úhlů prvního k trojúhelníky se nazývá celkový úhel φ (k) pro kth trojúhelník. Roste úměrně se druhou odmocninou k, s ohraničený opravný termín C₂:^[1]

{ displaystyle varphi left (k right) = sum _ {n = 1} ^ {k} varphi _ {n} = 2 { sqrt {k}} + c_ {2} (k)}

kde

{ displaystyle lim _ {k to infty} c_ {2} (k) = - 2,157782996659 ldots}

(OEIS: A105459).

Trojúhelník nebo část spirály

Poloměr

Růst poloměru spirály v určitém trojúhelníku n je

{ displaystyle Delta r = { sqrt {n + 1}} - { sqrt {n}}.}

Archimédova spirála

Theodorova spirála přibližný the Archimédova spirála.^[1] Stejně jako se vzdálenost mezi dvěma vinutími Archimédovy spirály rovná matematická konstanta pi, jak se blíží počet otočení Theodorovy spirály nekonečno, vzdálenost mezi dvěma po sobě jdoucími vinutími se rychle blíží π.^[6]

Následuje tabulka ukazující dvě vinutí spirály blížící se pi:

Vinutí č .:	Vypočítaná průměrná navíjecí vzdálenost	Přesnost průměrné vzdálenosti vinutí ve srovnání s π
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
→ ∞	→ π	→ 100%

Jak je znázorněno, po pouze pátém vinutí je vzdálenost s přesností na 99,97% na π.^[1]

Spojitá křivka

Davisovo analytické pokračování Theodorovy spirály, včetně prodloužení v opačném směru od počátku (čísla záporných uzlů).

Otázka, jak na to interpolovat diskrétní body spirály Theodora hladkou křivkou byly navrženy a zodpovězeny v (Davis 2001, s. 37–38) analogicky s Eulerovým vzorcem pro funkce gama jako interpolant pro faktoriál funkce. Davise našel funkci

{ displaystyle T (x) = prod _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1 + i / { sqrt {k}}} {1 + i / { sqrt {x + k} }}} qquad (-1

který dále studoval jeho student Vůdce^[7] a tím Iserles (v příloze k (Davis 2001 )). Axiomatická charakteristika této funkce je uvedena v (Gronau 2004 ) jako jedinečná funkce, která splňuje funkční rovnice

{ displaystyle f (x + 1) = left (1 + { frac {i} { sqrt {x + 1}}} right) cdot f (x),}

počáteční stav ${ displaystyle f (0) = 1,}$ a monotónnost v obou argument a modul; jsou zde studovány i alternativní podmínky a oslabení. Alternativní derivace je uvedena v (Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ).

Analytické pokračování Davisovy spojité formy Theodorovy spirály, která se rozprostírá v opačném směru od původu, je uvedeno v (Waldvogel 2009 ).

Na obrázku jsou uzly původní (diskrétní) spirály Theodorus zobrazeny jako malé zelené kruhy. Modré jsou ty, které jsou přidány v opačném směru spirály. Pouze uzly ${ displaystyle n}$ s celočíselnou hodnotou polárního poloměru ${ displaystyle r_ {n} = pm { sqrt {| n |}}}$ jsou na obrázku očíslovány. Přerušovaná kružnice v počátku souřadnic ${ displaystyle O}$ je kruh zakřivení v ${ displaystyle O}$ .

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Hahn, Harry K. „Objednané distribuce přirozených čísel na spirále druhou mocninu“. arXiv:0712.2184.
^ Nahin, Paul J. (1998), Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1
^ Platón; Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus Platóna, J. Maclehose, str. 86–87.
^ ^A ^b Dlouhá, Kate. „Lekce o kořenové spirále“. Archivovány od originál dne 11. dubna 2013. Citováno 30. dubna 2008.
^ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semestr. 6 (1958), str. 148-152.
^ Hahn, Harry K. (2008). "Rozložení přirozených čísel dělitelných 2, 3, 5, 7, 11, 13 a 17 na Square Root Spiral". arXiv:0801.4422.
^ Vedoucí, J.J. The Generalor Theodorus Iteration (disertační práce), 1990, Brown University

Další čtení

Davis, P. J. (2001), Spirály od Theodora po Chaos, A K Peters / CRC Press
Gronau, Detlef (březen 2004), „Theodorova spirála“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 111 (3): 230–237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
Heuvers, J .; Moak, D. S .; Boursaw, B (2000), „Funkční rovnice spirály druhé odmocniny“, T. M. Rassias (ed.), Funkční rovnice a nerovnice, str. 111–117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytické pokračování Theodorovy spirály (PDF)

[KAHN2-1] A ^b ^C ^d ^E Hahn, Harry K. „Objednané distribuce přirozených čísel na spirále druhou mocninu“. arXiv:0712.2184.

[2] Nahin, Paul J. (1998), Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1

[3] Platón; Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus Platóna, J. Maclehose, str. 86–87.

[LONG-4] A ^b Dlouhá, Kate. „Lekce o kořenové spirále“. Archivovány od originál dne 11. dubna 2013. Citováno 30. dubna 2008.

[5] Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semestr. 6 (1958), str. 148-152.

[6] Hahn, Harry K. (2008). "Rozložení přirozených čísel dělitelných 2, 3, 5, 7, 11, 13 a 17 na Square Root Spiral". arXiv:0801.4422.

[7] Vedoucí, J.J. The Generalor Theodorus Iteration (disertační práce), 1990, Brown University

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]