Ortodiagonální čtyřúhelník - Orthodiagonal quadrilateral

v Euklidovská geometrie, an ortodiagonální čtyřúhelník je čtyřúhelník ve kterém úhlopříčky kříž na správné úhly. Jinými slovy, jedná se o čtyřstranný obrazec, ve kterém úsečky mezi nesousedícími vrcholy jsou ortogonální (kolmo) na sebe.
Speciální případy
A papírový drak je ortodiagonální čtyřúhelník, ve kterém jedna úhlopříčka je čára symetrie. Draci jsou přesně ortodiagonální čtyřúhelníky, které obsahují a kruh tečna ke všem čtyřem jejich stranám; to znamená, že draci jsou tangenciální ortodiagonální čtyřúhelníky.[1]
A kosočtverec je ortodiagonální čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran (tj. ortodiagonální čtyřúhelník, který je také rovnoběžník ).
A náměstí je limitujícím případem draka i kosočtverce.
Ortodiagonální ekvidiagonální čtyřúhelníky, ve kterých jsou úhlopříčky alespoň tak dlouhé, že všechny strany čtyřúhelníku mají maximální plochu pro svůj průměr ze všech čtyřúhelníků, což řeší n = 4 případ největší malý mnohoúhelník problém. Čtverec je jeden takový čtyřúhelník, ale existuje nekonečně mnoho dalších. Ortodiagonální čtyřúhelník, který je také ekvidiagonální, je a střední čtvercový protože to je Varignon rovnoběžník je čtverec. Jeho oblast lze vyjádřit čistě z hlediska jeho stran.
Charakterizace
Pro jakýkoli ortodiagonální čtyřúhelník se součet čtverců dvou protilehlých stran rovná součtu ostatních dvou protilehlých stran: pro následné strany A, b, C, a d, my máme [2][3]
To vyplývá z Pythagorova věta, kterou lze libovolně z těchto dvou součtů dvou čtverců rozšířit tak, aby se rovnal součtu čtyř čtverců vzdáleností od vrcholů čtyřúhelníku k bodu, kde se protínají úhlopříčky. Naopak jakýkoli čtyřúhelník, ve kterém A2 + C2 = b2 + d2 musí být ortodiagonální.[4]To lze dokázat mnoha způsoby, včetně použití zákon kosinů, vektory, an nepřímý důkaz, a komplexní čísla.[5]
Úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku jsou kolmé kdyby a jen kdyby dva bimedians mít stejnou délku.[5]
Podle další charakterizace jsou úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku abeceda jsou kolmé, právě když
kde P je průsečík úhlopříček. Z této rovnice téměř okamžitě vyplývá, že úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku jsou kolmé právě tehdy, když projekce úhlopříčného průsečíku na stranách čtyřúhelníku jsou vrcholy a cyklický čtyřúhelník.[5]
Konvexní čtyřúhelník je ortodiagonální, právě když je jeho Varignon rovnoběžník (jehož vrcholy jsou střední body jeho stran) je a obdélník.[5] Související charakterizace uvádí, že konvexní čtyřúhelník je ortodiagonální právě tehdy, když jsou středy stran a nohou čtyř maltitudes je osm koncyklické body; the osmibodový kruh. Středem tohoto kruhu je těžiště čtyřúhelníku. Čtyřúhelník tvořený nohama maltitud se nazývá hlavní ortický čtyřúhelník.[6]
Pokud normály do stran konvexního čtyřúhelníku abeceda protíná diagonální průsečík protilehlé strany dovnitř R, S, T, U, a K., L, M, N jsou tedy nohy těchto normálů abeceda je ortodiagonální tehdy a jen tehdy, když osm bodů K., L, M, N, R, S, T a U jsou koncyklické; the druhý osmibodový kruh. Související charakterizace uvádí, že konvexní čtyřúhelník je ortodiagonální právě tehdy RSTU je obdélník, jehož strany jsou paralelní na úhlopříčky abeceda.[5]
Existuje čtyři metrické charakterizace týkající se čtyř trojúhelníky tvořený diagonálním průsečíkem P a vrcholy konvexního čtyřúhelníku abeceda. Označit podle m1, m2, m3, m4 the mediány v trojúhelnících ABP, BCP, CDP, DAP z P do stran AB, před naším letopočtem, CD, DA resp. Li R1, R2, R3, R4 a h1, h2, h3, h4 označit poloměry z circumcircles a nadmořské výšky respektive z těchto trojúhelníků, pak čtyřúhelník abeceda je ortodiagonální právě tehdy, pokud platí některá z následujících rovností:[5]
Dále čtyřúhelník abeceda s křižovatkou P úhlopříček je ortodiagonální tehdy a jen tehdy, jsou-li oběžníky trojúhelníků ABP, BCP, CDP a DAP jsou středové body po stranách čtyřúhelníku.[5]
Srovnání s tangenciálním čtyřúhelníkem
Několik metrických charakteristik tangenciální čtyřúhelníky a ortodiagonální čtyřúhelníky mají velmi podobný vzhled, jak je vidět v této tabulce.[5] Zápisy po stranách A, b, C, d, the circumradii R1, R2, R3, R4a nadmořské výšky h1, h2, h3, h4 jsou stejné jako výše u obou typů čtyřúhelníků.
Tangenciální čtyřúhelník | Ortodiagonální čtyřúhelník |
---|---|
Plocha
Oblast K. ortodiagonálního čtyřúhelníku se rovná jedné polovině součinu délek úhlopříček str a q:[7]
Naopak jakýkoli konvexní čtyřúhelník, kde lze plochu vypočítat pomocí tohoto vzorce, musí být ortodiagonální.[5] Ortodiagonální čtyřúhelník má největší plochu ze všech konvexních čtyřúhelníků s danými úhlopříčkami.
Další vlastnosti
- Ortodiagonální čtyřúhelníky jsou jediné čtyřúhelníky, pro které strany a úhel tvořený úhlopříčkami jednoznačně neurčují oblast.[3] Například dva kosočtverce, oba mají společnou stranu A (a stejně jako u všech kosočtverců, oba mají pravý úhel mezi úhlopříčkami), ale jeden má menší ostrý úhel než ostatní, mají různé oblasti (plocha první se blíží nule, když se ostrý úhel blíží nule).
- Li čtverce jsou vztyčeny ven po stranách každého čtyřúhelník (konvexní, konkávní nebo zkřížené), pak jejich centra (centroidy ) jsou vrcholy ortodiagonálního čtyřúhelníku, který je také ekvidiagonální (to znamená, že mají úhlopříčky stejné délky). Tomu se říká Van Aubelova věta.
- Každá strana ortodiagonálního čtyřúhelníku má alespoň jeden společný bod s kruhem bodů Pascal. [8]
Vlastnosti ortodiagonálních čtyřúhelníků, které jsou také cyklické
Circumradius a oblast
Pro cyklický ortodiagonální čtyřúhelník (ten, který může být napsaný v kruh ), předpokládejme, že průsečík úhlopříček rozdělí jednu úhlopříčku na segmenty délek str1 a str2 a rozděluje druhou úhlopříčku na segmenty délek q1 a q2. Pak[9] (první rovnost je Proposition 11 in Archimedes Kniha lemmatů )
kde D je průměr z obvod. To platí, protože úhlopříčky jsou kolmé akordy kruhu. Tyto rovnice dávají circumradius výraz
nebo, pokud jde o strany čtyřúhelníku, jako[2]
Z toho také vyplývá[2]
Tedy podle Eulerova čtyřstranná věta, lze poloměr vyjádřit úhlopříčkami str a qa vzdálenost X mezi středy úhlopříček jako
Vzorec pro plocha K. cyklického ortodiagonálního čtyřúhelníku, pokud jde o čtyři strany, se získá přímo při kombinaci Ptolemaiova věta a vzorec pro plocha ortodiagonálního čtyřúhelníku. Výsledek je[10]:str. 222
Další vlastnosti
- V cyklickém ortodiagonálním čtyřúhelníku je anticenter se shoduje s bodem, kde se protínají úhlopříčky.[2]
- Brahmaguptova věta uvádí, že pro cyklický ortodiagonální čtyřúhelník kolmá z kterékoli strany přes průsečík úhlopříček půlí opačnou stranu.[2]
- Pokud je také ortodiagonální čtyřúhelník cyklický, vzdálenost od circumcenter (střed popsané kružnice) na kteroukoli stranu se rovná polovině délky opačné strany.[2]
- V cyklickém ortodiagonálním čtyřúhelníku se vzdálenost mezi středy diagonál rovná vzdálenosti mezi circumcenterem a bodem, kde se diagonály protínají.[2]
Nekonečné sady vepsaných obdélníků


Pro každý ortodiagonální čtyřúhelník můžeme napsat dvě nekonečné sady obdélníků:
- i) soubor obdélníků, jejichž strany jsou rovnoběžné s úhlopříčkami čtyřúhelníku
- (ii) sada obdélníků definovaných kruhy bodů Pascal.[11]
Reference
- ^ Josefsson, Martin (2010), "Výpočty týkající se délek tečny a tečných akordů tangenciálního čtyřúhelníku" (PDF), Fórum Geometricorum, 10: 119–130.
- ^ A b C d E F G Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp 136-138.
- ^ A b Mitchell, Douglas, W. (2009), „Plocha čtyřúhelníku“, Matematický věstník, 93 (Červenec): 306–309.
- ^ Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Třída zachovávající pitvy konvexních čtyřúhelníků" (PDF), Fórum Geometricorum, 9: 195–211.
- ^ A b C d E F G h i Josefsson, Martin (2012), "Charakterizace ortodiagonálních čtyřúhelníků" (PDF), Fórum Geometricorum, 12: 13–25.
- ^ Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011), „Droz-Farnyho kruhy konvexního čtyřstranného“ (PDF), Fórum Geometricorum, 11: 109–119.
- ^ Harries, J. (2002), „Plocha čtyřúhelníku“, Matematický věstník, 86 (Červenec): 310–311
- ^ David, Fraivert (2017), "Vlastnosti kruhu bodů Pascal v čtyřúhelníku s kolmými úhlopříčkami" (PDF), Fórum Geometricorum, 17: 509–526.
- ^ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996), Náročné problémy v geometrii (druhé vydání), Dover Publications, str. 104–105, č. 4–23.
- ^ Josefsson, Martin (2016), „Vlastnosti pythagorovských čtyřúhelníků“, Matematický věstník, 100 (Červenec): 213–224.
- ^ David, Fraivert (2019), "Sada obdélníků vepsaných do pravoúhlého čtyřúhelníku a definovaných kruhy bodů Pascal", Časopis pro geometrii a grafiku, 23: 5–27.