Bicentrický čtyřúhelník - Bicentric quadrilateral

Ponceletův porismus pro dvoustranné čtyřúhelníky ABCD a EFGH

v Euklidovská geometrie, a bicentrický čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník který má obojí incircle a a obvod. Poloměry a střed těchto kruhů se nazývají inradius a circumradius, a stimulant a circumcenter resp. Z definice vyplývá, že dvoustranné čtyřúhelníky mají všechny vlastnosti obou tangenciální čtyřúhelníky a cyklické čtyřstěny. Jiná jména pro tyto čtyřúhelníky jsou akord-tangenta čtyřúhelník^[1] a vepsaný a ohraničený čtyřúhelník. Zřídka se také nazývalo a dvojitý kruh čtyřúhelník^[2] a dvojitě čmáraný čtyřúhelník.^[3]

Pokud jsou dva kruhy, jeden v druhém, incircle a circumcircle bicentrického čtyřúhelníku, pak každý bod na circumcircle je vrcholem bicentrického čtyřúhelníku, který má stejný incircle a circumcircle.^[4] Toto je důsledek Ponceletův porismus, což prokázal francouzský matematik Jean-Victor Poncelet (1788–1867).

Speciální případy

A pravý drak

Příklady dvoustranných čtyřúhelníků jsou čtverce, správné draci, a rovnoramenné tangenciální lichoběžníky.

Charakterizace

Bicentrický čtyřúhelník ABCD a jeho kontaktní čtyřúhelník WXYZ

Konvexní čtyřúhelník abeceda s bočnicemi A, b, C, d je dvoustranný kdyby a jen kdyby opačné strany uspokojí Pitotova věta pro tangenciální čtyřúhelníky a cyklická čtyřstranná vlastnost, že opačné úhly jsou doplňkový; to je

${displaystyle {egin {cases} a + c = b + d A + C = B + D = pi .end {cases}}}$

Další tři charakterizace se týkají bodů, kde incircle v tangenciální čtyřúhelník je tečna do stran. Pokud je incircle tečna do stran AB, před naším letopočtem, CD, DA na Ž, X, Y, Z respektive pak tangenciální čtyřúhelník abeceda je také cyklické tehdy a jen tehdy, pokud platí některá z následujících tří podmínek:^[5]

• WY je kolmý na XZ
• ${displaystyle {frac {AW} {WB}} = {frac {DY} {YC}}}$
• ${displaystyle {frac {AC} {BD}} = {frac {AW + CY} {BX + DZ}}}$

První z těchto tří znamená, že kontaktní čtyřúhelník WXYZ je ortodiagonální čtyřúhelník.

Li E, F, G, H jsou středy WX, XY, YZ, ZW respektive pak tangenciální čtyřúhelník abeceda je také cyklický kdyby a jen kdyby čtyřúhelník EFGH je obdélník.^[5]

Podle jiné charakterizace, pokud Já je stimulant v tangenciální čtyřúhelník kde se protínají prodloužení protilehlých stran J a K., potom je čtyřúhelník také cyklický, právě když JIK je pravý úhel.^[5]

Ještě další nezbytný a dostatečný stav je to tangenciální čtyřúhelník abeceda je cyklický právě tehdy, když je Newtonova linie je kolmá na Newtonovu linii jejího kontaktního čtyřúhelníku WXYZ. (Newtonova čára čtyřúhelníku je čára definovaná středy jeho úhlopříček.)^[5]

Konstrukce

Bicentrický čtyřúhelník ABCD s kontaktním čtyřúhelníkem WXYZ. Animace viz zde

Existuje jednoduchá metoda pro konstrukci bicentrického čtyřúhelníku:

Začíná to incircle C_r okolo centrum Já s poloměrem r a potom k sobě nakreslíme dva kolmý akordy WY a XZ v kruhu C_r. V koncových bodech akordů nakreslete tečny A, b, C a d do incircle. Protínají se ve čtyřech bodech A, B, C a D, což jsou vrcholy bicentrického čtyřúhelníku.^[6]Chcete-li nakreslit circumcircle, nakreslete dva kolmé půlící čáry str₁ a str₂ na stranách dvoustranného čtyřúhelníku A resp b. Kolmé půlící čáry str₁ a str₂ protínají se ve středu Ó z kruhového kruhu C_R se vzdáleností X do centra Já incircle C_r. Obvodový kruh lze nakreslit kolem středu Ó.

Platnost této konstrukce je dána charakterizací, která v a tangenciální čtyřúhelník abeceda, kontaktní čtyřúhelník WXYZ má kolmý úhlopříčky právě když je také tangenciální čtyřúhelník cyklický.

Plocha

Vzorce v podobě čtyř veličin

The plocha K. bicentrického čtyřúhelníku lze vyjádřit čtyřmi veličinami čtyřúhelníku několika různými způsoby. Pokud jsou strany A, b, C, d, pak je plocha dána^{[7][8][9][10][11]}

${displaystyle displaystyle K = {sqrt {abcd}}.}$

Toto je zvláštní případ Brahmaguptův vzorec. Lze jej také odvodit přímo z trigonometrického vzorce pro oblast a tangenciální čtyřúhelník. Všimněte si, že konverzace neplatí: Některé čtyřúhelníky, které nejsou dvoustranné, mají také plochu ${displaystyle displaystyle K = {sqrt {abcd}}.}$^[12] Jedním příkladem takového čtyřúhelníku je non-square obdélník.

Oblast může být také vyjádřena pomocí délky tečny E, F, G, h tak jako^[8]:str.128

${displaystyle K = {sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Vzorec pro oblast bicentrického čtyřúhelníku abeceda s incenterem Já je^[9]

${displaystyle K = AIcdot CI + BIcdot DI.}$

Pokud má dvoustranný čtyřúhelník tečné akordy k, l a úhlopříčky str, q, pak má oblast^{[8]:str. 129}

${displaystyle K = {frac {klpq} {k ^ {2} + l ^ {2}}}.}$

Li k, l jsou tečné akordy a m, n jsou bimedians čtyřúhelníku, pak lze plochu vypočítat pomocí vzorce^[9]

${displaystyle K = left | {frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {k ^ {2} -l ^ {2}}} vpravo | kl}$

Tento vzorec nelze použít, pokud je čtyřúhelník a pravý drak, protože jmenovatel je v takovém případě nulový.

Li M a N jsou středy úhlopříček a E a F jsou průsečíky prodloužení protilehlých stran, pak je plocha bicentrického čtyřúhelníku dána vztahem

${displaystyle K = {frac {2MNcdot EIcdot FI} {EF}}}$

kde Já je centrem incircle.^[9]

Vzorce vyjádřené třemi veličinami

Plochu bicentrického čtyřúhelníku lze vyjádřit dvěma protilehlými stranami a úhlem θ mezi úhlopříčkami podle^[9]

${displaystyle K = ac an {frac {heta} {2}} = bdcot {frac {heta} {2}}.}$

Pokud jde o dva sousední úhly a poloměr r oblasti je oblast dána vztahem^[9]

${displaystyle K = 2r ^ {2} vlevo ({frac {1} {sin {A}}} + {frac {1} {sin {B}}} vpravo).}$

Plocha je uvedena v termínech circumradius R a inradius r tak jako

${displaystyle K = r (r + {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) hřích heta}$

kde θ je úhel mezi úhlopříčkami.^[13]

Li M a N jsou středy úhlopříček a E a F jsou průsečíky prodloužení protilehlých stran, pak lze plochu vyjádřit také jako

${displaystyle K = 2MN {sqrt {EQcdot FQ}}}$

kde Q je noha kolmice na přímku EF středem incircle.^[9]

Nerovnosti

Li r a R jsou inradius, respektive circumradius, pak plocha K. uspokojuje nerovnosti^[14]

${displaystyle displaystyle 4r ^ {2} leq Kleq 2R ^ {2}.}$

Rovnost je na obou stranách pouze v případě, že čtyřúhelník je a náměstí.

Další nerovnost pro tuto oblast je^{[15]:39, # 1203}

${displaystyle Kleq {frac {4} {3}} r {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}$

kde r a R jsou inradius a circumradius.

Podobná nerovnost dává ostřejší horní hranici oblasti než ta předchozí^[13]

${displaystyle Kleq r (r + {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}})}$

s držením rovnosti právě tehdy, je-li čtyřúhelník a pravý drak.

Navíc s bočnicemi abeceda a semiperimetr s:

${displaystyle 2 {sqrt {K}} leq sleq r + {sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};}$^{[15]:39, # 1203}

${displaystyle 6Kleq ab + ac + ad + bc + bd + cdleq 4r ^ {2} + 4R ^ {2} + 4r {sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};}$^{[15]:s. 39, # 1203}

${displaystyle 4Kr ^ {2} leq abcdleq {frac {16} {9}} r ^ {2} (r ^ {2} + 4R ^ {2}).}$^{[15]:39, # 1203}

Úhlové vzorce

Li A, b, C, d jsou délka stran AB, před naším letopočtem, CD, DA respektive v bicentrickém čtyřúhelníku abeceda, pak lze jeho úhly vrcholů vypočítat pomocí tangenciální funkce:^[9]

${displaystyle an {frac {A} {2}} = {sqrt {frac {bc} {ad}}} = dětská postýlka {frac {C} {2}},}$

${displaystyle an {frac {B} {2}} = {sqrt {frac {cd} {ab}}} = dětská postýlka {frac {D} {2}}.}$

Pomocí stejných notací pro sinusové a kosinusové funkce platí následující vzorce:^[16]

${displaystyle sin {frac {A} {2}} = {sqrt {frac {bc} {ad + bc}}} = cos {frac {C} {2}},}$

${displaystyle cos {frac {A} {2}} = {sqrt {frac {ad} {ad + bc}}} = sin {frac {C} {2}},}$

${displaystyle sin {frac {B} {2}} = {sqrt {frac {cd} {ab + cd}}} = cos {frac {D} {2}},}$

${displaystyle cos {frac {B} {2}} = {sqrt {frac {ab} {ab + cd}}} = sin {frac {D} {2}}.}$

Úhel θ mezi úhlopříčkami lze vypočítat z^[10]

${displaystyle displaystyle an {frac {heta} {2}} = {sqrt {frac {bd} {ac}}}.}$

Inradius a circumradius

The inradius r bicentrického čtyřúhelníku je určen stranami A, b, C, d podle^[7]

${displaystyle displaystyle r = {frac {sqrt {abcd}} {a + c}} = {frac {sqrt {abcd}} {b + d}}.}$

The circumradius R je uveden jako zvláštní případ Parameshvara vzorec. to je^[7]

${displaystyle displaystyle R = {frac {1} {4}} {sqrt {frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {abcd}}}.}$

Inradius lze vyjádřit také po sobě jdoucími délky tečny E, F, G, h podle^{[17]:p. 41}

${displaystyle displaystyle r = {sqrt {eg}} = {sqrt {fh}}.}$

Tyto dva vzorce jsou ve skutečnosti nezbytné a dostatečné podmínky pro tangenciální čtyřúhelník s inradiem r být cyklický.

Čtyři strany A, b, C, d bicentrického čtyřúhelníku jsou čtyři řešení kvartická rovnice

${displaystyle y ^ {4} -2sy ^ {3} + (s ^ {2} + 2r ^ {2} + 2r {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) y ^ {2} -2rs ({sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r) y + r ^ {2} s ^ {2} = 0}$

kde s je semiperimetr a r a R jsou inradius a circumradius.^{[18]:p. 754}

Pokud existuje dvoustranný čtyřúhelník s inradiem r jehož délky tečny jsou E, F, G, h, pak existuje dvoustranný čtyřúhelník s inradiem r^proti jejichž délky tečny jsou E^proti, F^proti, G^proti, h^proti, kde proti může být jakýkoli reálné číslo.^[19]:9–10

Bicentrický čtyřúhelník má větší inradius než jakýkoli jiný tangenciální čtyřúhelník se stejnou posloupností délek stran.^{[20]:392–393}

Nerovnosti

Cirkumradius R a inradius r uspokojit nerovnost

${displaystyle Rgeq {sqrt {2}} r}$

což dokázal v roce 1948 L. Fejes Tóth.^[19] Platí to s rovností, pouze když jsou dva kruhy koncentrický (mít stejný střed jako každý jiný); pak je čtyřúhelník a náměstí. Nerovnost lze prokázat několika různými způsoby, jedním použitím dvojité nerovnosti pro výše uvedenou oblast.

Rozšíření předchozí nerovnosti je^{[2][21]:p. 141}

${displaystyle {frac {r {sqrt {2}}} {R}} leq {frac {1} {2}} vlevo (sin {frac {A} {2}} cos {frac {B} {2}} + sin {frac {B} {2}} cos {frac {C} {2}} + sin {frac {C} {2}} cos {frac {D} {2}} + sin {frac {D} {2 }} cos {frac {A} {2}} ight) leq 1}$

kde na obou stranách existuje rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník a náměstí.^{[16]:p. 81}

The semiperimetr s bicentrického čtyřúhelníku splňuje^{[19]:s. 13}

${displaystyle {sqrt {8rleft ({sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} - vpravo)}} leq sleq {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r}$

kde r a R jsou inradius a circumradius.

Navíc,^{[15]:39, # 1203}

${displaystyle 2sr ^ {2} leq abc + abd + acd + bcdleq 2r (r + {sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}) ^ {2}}$

a

${displaystyle abc + abd + acd + bcdleq 2 {sqrt {K}} (K + 2R ^ {2}).}$ ^{[15]:str.62, # 1599}

Vzdálenost mezi incenterem a circumcenterem

Bicentrický čtyřúhelník ABCD s incenterem I a circumcenterem O

Fussova věta

Fussova věta dává vztah mezi inradius r, circumradius R a vzdálenost X mezi stimulant Já a circumcenter Ó, pro jakýkoli dvoustranný čtyřúhelník. Vztah je^[1][11][22]

${displaystyle {frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {frac {1} {r ^ {2}}}, }$

nebo ekvivalentně

${displaystyle displaystyle 2r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) = (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {2}.}$

To bylo odvozeno od Nicolaus Fuss (1755–1826) v roce 1792. Řešení pro X výnosy

${displaystyle x = {sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} -r {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}$

Fussova věta, která je obdobou Eulerova věta pro trojúhelníky pro dvoustranné čtyřúhelníky říká, že pokud je čtyřúhelník dvoustranný, pak jeho dvě přidružené kružnice souvisejí podle výše uvedených rovnic. Ve skutečnosti platí obráceně: dány dvěma kruhy (jeden v druhém) s poloměry R a r a vzdálenost X mezi jejich středy splňujícími podmínku ve Fussově teorému existuje konvexní čtyřúhelník zapsaný v jednom z nich a tečný k druhému^[23] (a poté Ponceletova věta o uzavření, existuje nekonečně mnoho z nich).

Přihlašování ${displaystyle x ^ {2} geq 0}$ k vyjádření Fussovy věty pro X ve smyslu r a R je další způsob, jak dosáhnout výše uvedené nerovnosti ${displaystyle Rgeq {sqrt {2}} r.}$ Zobecnění je^[19]:str.5

${displaystyle 2r ^ {2} + x ^ {2} leq R ^ {2} leq 2r ^ {2} + x ^ {2} + 2rx.}$

Carlitzova identita

Další vzorec pro vzdálenost X mezi středy incircle a obvod je kvůli americkému matematikovi Leonard Carlitz (1907–1999). Uvádí to^[24]

${displaystyle displaystyle x ^ {2} = R ^ {2} -2Rrcdot mu}$

kde r a R jsou inradius a circumradius respektive a

${displaystyle displaystyle mu = {sqrt {frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(a + c) ^ {2} (ac + bd)}}} = {sqrt {frac {(ab + cd) (reklama + bc)} {(b + d) ^ {2} (ac + bd)}}}}$

kde A, b, C, d jsou strany bicentrického čtyřúhelníku.

Nerovnosti délek a stran tečny

Pro délky tečny E, F, G, h platí následující nerovnosti:^[19]:str.3

${displaystyle 4rleq e + f + g + hleq 4rcdot {frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}$

a

${displaystyle 4r ^ {2} leq e ^ {2} + f ^ {2} + g ^ {2} + h ^ {2} leq 4 (R ^ {2} + x ^ {2} -r ^ {2 })}$

kde r je inradius, R je circumradius a X je vzdálenost mezi incenterem a circumcenterem. Boky A, b, C, d uspokojit nerovnosti^[19]:str.5

${displaystyle 8rleq a + b + c + dleq 8rcdot {frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}$

a

${displaystyle 4 (R ^ {2} -x ^ {2} + 2r ^ {2}) leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} leq 4 (3R ^ {2} -2r ^ {2}).}$

Další vlastnosti incenteru

The circumcenter, stimulant a křižovatka úhlopříčky v dvoustranném čtyřúhelníku jsou kolineární.^[25]

Následující rovnost souvisí se čtyřmi vzdálenostmi mezi motivačním programem Já a vrcholy bicentrického čtyřúhelníku abeceda:^[26]

${displaystyle {frac {1} {AI ^ {2}}} + {frac {1} {CI ^ {2}}} = {frac {1} {BI ^ {2}}} + {frac {1} { DI ^ {2}}} = {frac {1} {r ^ {2}}}}$

kde r je inradius.

Li P je průsečík úhlopříček v dvoustranném čtyřúhelníku abeceda s incenterem Já, pak^[27]

${displaystyle {frac {AP} {CP}} = {frac {AI ^ {2}} {CI ^ {2}}}.}$

Nerovnost týkající se inradia r a circumradius R v dvoustranném čtyřúhelníku abeceda je^[28]

${displaystyle 4r ^ {2} leq AIcdot CI + BIcdot DIleq 2R ^ {2}}$

kde Já je stimul.

Vlastnosti úhlopříček

Délky úhlopříček v dvoustranném čtyřúhelníku lze vyjádřit pomocí po stranách nebo délky tečny, což jsou vzorce, které platí v a cyklický čtyřúhelník a a tangenciální čtyřúhelník resp.

V dvoustranném čtyřúhelníku s úhlopříčky str a q, platí následující identita:^[11]

${displaystyle displaystyle {frac {pq} {4r ^ {2}}} - {frac {4R ^ {2}} {pq}} = 1}$

kde r a R jsou inradius a circumradius resp. Tuto rovnost lze přepsat jako^[13]

${displaystyle r = {frac {pq} {2 {sqrt {pq + 4R ^ {2}}}}}}$

nebo jej řešit jako a kvadratická rovnice pro součin úhlopříček ve formě

${displaystyle pq = 2rleft (r + {sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} vpravo).}$

Nerovnost pro součin úhlopříček str, q v bicentrickém čtyřúhelníku je^[14]

${displaystyle displaystyle 8pqleq (a + b + c + d) ^ {2}}$

kde A, b, C, d jsou strany. To prokázal Murray S.Klamkin v roce 1967.

Čtyři stimulátory leží na kruhu

Nechat abeceda být dvoustranný čtyřúhelník a Ó střed jeho circumcircle. Pak stimulátory čtyř trojúhelníků OAB, OBC, OCD, ODA lež na kruhu.^[29]

Viz také

• Bicentrický mnohoúhelník
• Ex-tangenciální čtyřúhelník

Reference