Kvadratura paraboly - The Quadrature of the Parabola

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Parabolický segment.

Kvadratura paraboly (řecký: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) je pojednání o geometrie, napsáno Archimedes ve 3. století před naším letopočtem. Napsáno jako dopis jeho příteli Dositheus, práce představuje 24 návrhů týkajících se paraboly, které vyvrcholily důkazem, že plocha parabolického segmentu (oblast ohraničená parabolou a čára ) je 4/3 toho jistého napsaný trojúhelník.

The tvrzení problému použil způsob vyčerpání. Archimedes možná rozdělili oblast na nekonečně mnoho trojúhelníky jehož oblasti tvoří a geometrický průběh. Vypočítá součet výsledného geometrické řady, a dokazuje, že se jedná o oblast parabolického segmentu. To představuje nejsofistikovanější použití metody vyčerpání ve starověké matematice a zůstalo nepřekonatelné až do vývoje integrální počet v 17. století, následován Cavalieriho kvadraturní vzorec.

Hlavní věta

Archimedes vpisuje určitý trojúhelník do daného parabolického segmentu.

A parabolický segment je oblast ohraničená parabolou a čarou. Chcete-li najít oblast parabolického segmentu, Archimedes uvažuje o určitém vepsaném trojúhelníku. Základ tohoto trojúhelníku je daný akord paraboly a třetím vrcholem je bod na parabole tak, že tečna paraboly v tomto bodě je rovnoběžná s akordem. Podle Proposition 1 (Quadrature of the Parabola), a line from the third vertex drawn paralel to the axis delí akord na stejné segmenty. Hlavní věta tvrdí, že plocha parabolického segmentu je 4/3 plochy vepsaného trojúhelníku.

Struktura textu

Archimedes dává dva důkazy o hlavní větě. První používá abstrakt mechanika, přičemž Archimedes argumentoval tím, že váha segmentu vyváží váhu trojúhelníku, pokud je umístěn na vhodném místě páka. Druhý, slavnější důkaz používá čistou geometrii, konkrétně způsob vyčerpání.

Z dvaceti čtyř návrhů jsou první tři citovány bez důkazu od Euklid je Prvky kuželoseček (ztracené dílo Euklida dne kuželovité úseky ). Návrhy čtyři a pět stanoví základní vlastnosti paraboly; výroky šest až sedmnáct dávají mechanický důkaz hlavní věty; a návrhy osmnáct až dvacet čtyři představují geometrický důkaz.

Geometrický důkaz

Pitva parabolického segmentu

Archimédova disekce parabolického segmentu na libovolný počet trojúhelníků.

Hlavní myšlenkou důkazu je členění parabolického segmentu na nekonečně mnoho trojúhelníků, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Každý z těchto trojúhelníků je vepsán do vlastního parabolického segmentu stejným způsobem jako modrý trojúhelník ve velkém segmentu.

Oblasti trojúhelníků

V propozicích osmnáct až dvacet jedna Archimedes dokazuje, že plocha každého zeleného trojúhelníku je jedna osmina plochy modrého trojúhelníku. Z moderního hlediska je to proto, že zelený trojúhelník má poloviční šířku a čtvrtou výšku:^[1]

Rozšířením má každý ze žlutých trojúhelníků jednu osminu plochy zeleného trojúhelníku, každý z červených trojúhelníků má jednu osminu plochy žlutého trojúhelníku atd. Za použití způsob vyčerpání Z toho vyplývá, že celková plocha parabolického segmentu je dána vztahem

${displaystyle {ext {Area}}; =; T, +, 2left ({frac {T} {8}} ight), +, 4left ({frac {T} {8 ^ {2}}} ight), + , 8left ({frac {T} {8 ^ {3}}} ight), +, cdots.}$

Tady T představuje plochu velkého modrého trojúhelníku, druhý člen představuje celkovou plochu dvou zelených trojúhelníků, třetí člen představuje celkovou plochu čtyř žlutých trojúhelníků atd. To zjednodušuje dávání

${displaystyle {ext {Area}}; =; left (1, +, {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}} , +, cdots ight) T.}$

Součet série

Archimédův důkaz 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

Pro dokončení důkazu to Archimedes ukazuje

${displaystyle 1, +, {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}}, +, cdots; =; {frac {4 } {3}}.}$

Vzorec výše je a geometrické řady —Každé následující období je čtvrtina předchozího období. V moderní matematice je tento vzorec zvláštním případem součtový vzorec pro geometrickou řadu.

Archimedes vyhodnotí součet pomocí zcela geometrické metody,^[2] na vedlejším obrázku. Tento obrázek ukazuje jednotkový čtverec, který byl rozřezán na nekonečno menších čtverců. Každý následující fialový čtverec má jednu čtvrtinu plochy předchozího čtverce, přičemž celková fialová plocha je součtem

${displaystyle {frac {1} {4}}, +, {frac {1} {16}}, +, {frac {1} {64}}, +, cdots.}$

Fialové čtverce jsou však shodné s oběma sadami žlutých čtverců, a tak pokrývají 1/3 plochy jednotkového čtverce. Z toho vyplývá, že výše uvedená řada činí 4/3.

Viz také

• Historie počtu

Poznámky

Další čtení

• Ajose, Sunday a Roger Nelsen (červen 1994). "Důkaz beze slov: Geometrická řada". Matematický časopis. 67 (3): 230. doi:10.2307/2690617. JSTOR  2690617.
• Ancora, Luciano (2014). „Kvadratura paraboly se čtvercovým pyramidovým číslem“. Archimede. 66 (3).
• Bressoud, David M. (2006). Radikální přístup ke skutečné analýze (2. vyd.). Mathematical Association of America. ISBN  0-88385-747-2..
• Dijksterhuis, E.J. (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN  0-691-08421-1
• Edwards Jr., C. H. (1994). Historický vývoj počtu (3. vyd.). Springer. ISBN  0-387-94313-7..
• Heath, Thomas L. (2011). Díla Archimeda (2. vyd.). CreateSpace. ISBN  978-1-4637-4473-1.
• Simmons, George F. (2007). Kameny kamene. Mathematical Association of America. ISBN  978-0-88385-561-4..
• Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: Co udělal kromě Cry Eureky?. Mathematical Association of America. ISBN  0-88385-718-9.
• Stillwell, John (2004). Matematika a její historie (2. vyd.). Springer. ISBN  0-387-95336-1..
• Swain, Gordon a Thomas Dence (duben 1998). "Archimédova kvadratura paraboly znovu navštívena". Matematický časopis. 71 (2): 123–30. doi:10.2307/2691014. JSTOR  2691014.
• Wilson, Alistair Macintosh (1995). Nekonečný v konečném. Oxford University Press. ISBN  0-19-853950-9..

externí odkazy

• Casselman, Bille. „Archimedova kvadratura paraboly“. Celý text v překladu T.L. Vřesoviště.
• Xavier University Katedra matematiky a informatiky. „Archimedes ze Syrakus“. Text propozic 1–3 a 20–24, s komentářem.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus