Věta o vnějším úhlu - Exterior angle theorem

The teorém o vnějším úhlu je nabídka 1,16 palce Euklidovy prvky, který stanoví, že opatření vnější úhel a trojúhelník je větší než kterákoli z měr vzdálených vnitřních úhlů. Toto je zásadní výsledek v absolutní geometrie protože jeho důkaz nezávisí na paralelní postulát.

V několika středoškolských úpravách geometrie byl termín „věta o vnějším úhlu“ použit pro jiný výsledek,[1] jmenovitě část návrhu 1.32, která uvádí, že míra vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná součtu měr vzdálených vnitřních úhlů. Tento výsledek, který závisí na Euclidově paralelním postulátu, bude označován jako „věta o vnějším úhlu střední školy“ (HSEAT), aby se odlišil od Euclidovy věty o vnějším úhlu.

Někteří autoři označují „teorém o vnějším úhlu střední školy“ jako silná forma věty o vnějším úhlu a „Euklidova věta o vnějším úhlu“ jako Slabá forma.[2]

Vnější úhly

Trojúhelník má tři rohy, tzv vrcholy. Strany trojúhelníku (úsečky), které se spojují na vrcholu, tvoří dva úhly (čtyři úhly, pokud považujete strany trojúhelníku za úseky místo úseček).[3] Pouze jeden z těchto úhlů obsahuje ve svém vnitřku třetí stranu trojúhelníku a tento úhel se nazývá vnitřní úhel trojúhelníku.[4] Na obrázku níže jsou úhly ∠ABC, ∠BCA a ∠CAB jsou tři vnitřní úhly trojúhelníku. An vnější úhel je vytvořen prodloužením jedné ze stran trojúhelníku; úhel mezi prodlouženou stranou a druhou stranou je vnější úhel. Na obrázku úhel ∠ ACD je vnější úhel.

Remint3.svg

Euclidova věta o vnějším úhlu

Důkaz návrhu 1.16 předložený Euklidem je často citován jako jedno místo, kde Euclid dává chybný důkaz.[5][6][7]

Euclid dokazuje teorém o vnějším úhlu:

  • postavit střed E segmentu AC,
  • nakreslete paprsek BÝT,
  • zkonstruujte bod F na paprsku BE tak, aby E byl (také) středem B a F,
  • nakreslete segment FC.

Podle shodný trojúhelníky můžeme konstatovat, že ∠ BAC = ∠ ECF a ∠ ECF je menší než ∠ ECD, ∠ ECD = ∠ ACD proto ∠ BAC je menší než ∠ ACD a to samé lze udělat pro úhel ∠ CBA rozdělením BC.

Chyba spočívá v předpokladu, že bod (F, výše) leží „uvnitř“ úhlu (∠ ACD). Pro toto tvrzení není uveden žádný důvod, ale podle doprovodného diagramu to vypadá jako pravdivé tvrzení. Když se použije kompletní sada axiomů pro euklidovskou geometrii (viz Základy geometrie ) toto tvrzení Euclida lze prokázat.[8]

Neplatný ve sférické geometrii

Malé trojúhelníky se mohou chovat téměř euklidovským způsobem, ale vnější úhly ve spodní části velkého trojúhelníku jsou 90 °, což je v rozporu s Euklidovou teorémem o vnějším úhlu.

Veta o vnějším úhlu není platná v sférická geometrie ani v souvisejících eliptická geometrie. Zvažte a sférický trojúhelník jeden z jehož vrcholů je Severní pól a další dva leží na rovník. Boky trojúhelníku vycházejícího ze severního pólu (velké kruhy koule) oba splňují rovník v pravých úhlech, takže tento trojúhelník má vnější úhel, který se rovná vzdálenému vnitřnímu úhlu. Druhý vnitřní úhel (na severním pólu) lze zvětšit o více než 90 °, což dále zdůrazňuje selhání tohoto tvrzení. Jelikož je však Euclidova věta o vnějším úhlu teorémem v absolutní geometrie je automaticky platný v hyperbolická geometrie.

Věta o vnějším úhlu střední školy

Věta o vnějším úhlu střední školy (HSEAT) říká, že velikost vnějšího úhlu na vrcholu trojúhelníku se rovná součtu velikostí vnitřních úhlů na dalších dvou vrcholech trojúhelníku (vzdálené vnitřní úhly). Na obrázku tedy velikost úhlu ACD se rovná velikosti úhlu ABC plus velikost úhlu KABINA.

HSEAT je logicky ekvivalentní k euklidovskému prohlášení, že součet úhlů trojúhelníku je 180 °. Pokud je známo, že součet měr úhlů v trojúhelníku je 180 °, pak se HSEAT dokazuje takto:

Na druhou stranu, pokud je HSEAT bráno jako pravdivé tvrzení, pak:

Ilustrace dokladu o HSEAT

Dokazující, že součet měr úhlů trojúhelníku je 180 °.

Euklidovský důkaz HSEAT (a zároveň výsledek na součtu úhlů trojúhelníku) začíná konstrukcí přímky rovnoběžné se stranou AB procházející bodem C a poté pomocí vlastností odpovídajících úhlů a alternativních vnitřních úhlů rovnoběžných čar získat závěr jako na obrázku.[9]

HSEAT může být velmi užitečný, když se pokoušíte vypočítat míry neznámých úhlů v trojúhelníku.

Poznámky

  1. ^ Henderson & Taimiņa 2005, str. 110
  2. ^ Wylie, Jr. 1964, str. 101 & str. 106
  3. ^ Jeden úsečka je považována za počáteční stranu a druhá za koncovou stranu. Úhel je tvořen přechodem proti směru hodinových ručiček z počáteční strany na koncovou stranu. Volba toho, který úsečka je počáteční stranou, je libovolná, takže existují dvě možnosti úhlu určeného úsečkami.
  4. ^ Tento způsob definování vnitřních úhlů nepředpokládá, že součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů.
  5. ^ Faber 1983, str. 113
  6. ^ Greenberg 1974, str. 99
  7. ^ Venema 2006, str. 10
  8. ^ Greenberg 1974, str. 99
  9. ^ Heath 1956, Sv. 1, s. 316

Reference

  • Faber, Richard L. (1983), Základy euklidovské a neeuklidovské geometrie, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN  0-8247-1748-1
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Euklidovské a neeuklidovské geometrie / vývoj a historie, San Francisco: W.H. Freemane, ISBN  0-7167-0454-4
  • Heath, Thomas L. (1956). Třináct knih Euklidových prvků (2. vydání. [Fax. Originální publikace: Cambridge University Press, 1925] vydání.). New York: Dover Publications.
(3 obj.): ISBN  0-486-60088-2 (sv. 1), ISBN  0-486-60089-0 (sv. 2), ISBN  0-486-60090-4 (sv. 3).
  • Henderson, David W .; Taimiņa, Daina (2005), Prožívání geometrie / euklidovské a neeuklidovské s historií (3. vyd.), Pearson / Prentice-Hall, ISBN  0-13-143748-8
  • Venema, Gerard A. (2006), Základy geometrie, Horní sedlo, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN  0-13-143700-3
  • Wylie Jr., CR (1964), Základy geometrie, New York: McGraw-Hill

Reference HSEAT

  • Učebnice geometrie - Standard IX, Maharashtra Státní rada pro střední a vysoké školy, Pune - 411005, Indie.
  • Společné jádro geometrie„Pearson Education: Upper Saddle River, © 2010, strany 171-173 | Spojené státy.
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Pomocníci domácích úkolů: Geometrie„Franklin Lakes, NJ: Career Press, s. 88–90, ISBN  978-1-56414-936-7.