Tetracontadigon - Tetracontadigon

Pravidelný tetrakontadigon
Pravidelný tetrakontadigon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	42
Schläfliho symbol	{42}, t {21}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.42), objednat 2 × 42
Vnitřní úhel (stupňů )	≈171.429°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a tetracontadigon (nebo tetracontakaidigon) nebo 42 -gon je čtyřicet dva-oboustranný polygon. (V řečtině předpona tetraconta- znamená 40 a di- znamená 2.) Součet vnitřních úhlů jakéhokoli tetracontadigonu je 7200 stupňů.

Pravidelný tetrakontadigon

The pravidelný tetracontadigon mohou být konstruovány jako a zkrácen icosihenagon, t {21}.

Jeden vnitřní úhel v a pravidelný tetracontadigon je 171³⁄₇°, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 8⁴⁄₇°.

The plocha pravidelného tetrakontadigonu je (s t = délka hrany)

${ displaystyle A = 10,5 t ^ {2} cot { frac { pi} {42}}}$

a jeho inradius je

${ displaystyle r = { frac {1} {2}} t cot { frac { pi} {42}}}$

The circumradius běžného tetrakontadigonu je

${ displaystyle R = { frac {1} {2}} t csc { frac { pi} {42}}}$

Protože 42 = 2 × 3 × 7, běžný tetrakontadigon není konstruovatelný používat kompas a pravítko,^[1] ale je konstruovatelný, pokud použití úhlový trisektor je povoleno.^[2]

Symetrie

Symetrie pravidelného tetracontadigonu, související jako podskupiny indexů 2, 3 a 7. Řádky odrazů jsou modré přes vrcholy a fialové přes hrany. Ve středu jsou křivky uvedeny jako čísla. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie.

The pravidelný tetrakontadigon má Dih₄₂ dihedrální symetrie, řád 84, představovaný 42 řádky odrazu. Dih₄₂ má 7 dihedrálních podskupin: Dih₂₁, (Dih₁₄, Dih₇), (Dih₆, Dih₃) a (Dih₂, Dih₁) a 8 dalších cyklický symetrie: (Z₄₂, Z₂₁), (Z.₁₄, Z₇), (Z.₆, Z₃) a (Z.₂, Z₁), se Z_n představující π /n radiánová rotační symetrie.

Těchto 16 symetrií generuje 20 jedinečných symetrií na běžném tetracontadigonu. John Conway označí tyto nižší symetrie písmenem a pořadí symetrie následuje za písmenem.^[3] On dává r84 pro plnou reflexní symetrii, Dih₄₂, a a1 bez symetrie. On dává d (úhlopříčka) se zrcadlovými čarami vedenými vrcholy, p se zrcadlovými liniemi přes hrany (kolmé), i se zrcadlovými čarami procházejícími jak vrcholy, tak hranami, a G pro rotační symetrii. a1 štítky bez symetrie.

Tyto nižší symetrie umožňují stupně volnosti při definování nepravidelných tetrakontadigonů. Pouze g42 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Pitva

42-gon s 840 kosodélníky

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[4]To platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tom případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný tetrakontatetragon, m= 21, lze jej rozdělit na 210: 10 sad 21 kosočtverců. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 21 krychlí.

Příklady

Související polygony

Rovnostranný trojúhelník, pravidelný sedmiúhelník a pravidelný tetrakontadigon může úplně vyplnit rovinný vrchol. Celé letadlo však při jeho zahrnutí nelze obložit pravidelnými polygony vrchol obrázek,^[5] ačkoli to může být použito v obkladu s rovnostrannými polygony a kosočtverci.^[6]

Tetracontadigram

Tetrakontadigram je 42stranný hvězdný polygon. Existuje pět pravidelných formulářů daných Schläfliho symboly {42/5}, {42/11}, {42/13}, {42/17} a {42/19}, stejně jako 15 sloučenin hvězdné postavy se stejným konfigurace vrcholů.

Pravidelný hvězdné polygony {42 / k}

Obrázek	{42/5}	{42/11}	{42/13}	{42/17}	{42/19}
Vnitřní úhel	≈137.143°	≈85.7143°	≈68.5714°	≈34.2857°	≈17.1429°

Reference

• Pojmenování mnohoúhelníků a mnohostěnů