Měření kruhu - Measurement of a Circle

Měření kruhu nebo Dimenze kruhu (řecký: Κύκλου μέτρησις, Kuklou metrēsis)[1] je pojednání který se skládá ze tří návrhů od Archimedes, ca. 250 př. N. L.[2][3] Pojednání je jen zlomkem toho, co bylo delší prací.[4][5]

Propozice

Návrh první

Kruh a trojúhelník mají stejnou plochu.

První návrh uvádí: Plocha libovolného kruhu se rovná pravoúhlému trojúhelníku, ve kterém se jedna ze stran kolem pravého úhlu rovná poloměru a druhá obvodu kružnice. kruh s obvod C a a poloměr r je rovno v plocha s pravoúhlý trojuhelník s těmi dvěma nohy bytost C a r. Tento návrh dokazuje způsob vyčerpání.[6]

Tvrzení dva

Tvrzení dva státy:

Plocha kruhu je na čtverci na svém průměru 11 až 14.

Tento návrh nemohl uplatnit Archimedes, protože se spoléhá na výsledek třetího návrhu.[6]

Návrh třetí

Návrh tři uvádí:

Poměr obvodu libovolného kruhu k jeho průměru je větší než ale méně než .

To se blíží tomu, co nyní nazýváme matematická konstanta π. Zjistil tyto hranice na hodnotě π o vepsání a popisující kruh se dvěma podobný 96stranný pravidelné mnohoúhelníky.[7]

Aproximace na druhou odmocninu

Tento návrh také obsahuje přesné aproximace k druhá odmocnina ze 3 (jeden větší a jeden menší) a další větší nedokonalé odmocniny; Archimedes však neposkytuje žádné vysvětlení, jak zjistil tato čísla.[5]Dává horní a dolní hranici √3 tak jako 1351/780 > √3 > 265/153.[6] Tyto hranice jsou však známé ze studie Pellova rovnice a konvergenty přidruženého pokračující zlomek, což vedlo k mnoha spekulacím o tom, kolik z této teorie čísel mohlo být přístupné Archimedesovi. Diskuse o tomto přístupu sahá přinejmenším do roku Thomas Fantet de Lagny, FRS (srov Chronologie výpočtu π ) v roce 1723, ale bylo s ním zacházeno explicitněji Hieronymus Georg Zeuthen. Na začátku 80. let 19. století Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) a Karl Heinrich Hunrath (b. 1847) zaznamenal, jak lze rychle najít hranice pomocí jednoduchých binomických hranic na druhou odmocninu v blízkosti dokonalého čtverce po vzoru prvků II.4, 7; tato metoda je zvýhodněna Thomas Little Heath. Ačkoli je zmíněna pouze jedna cesta k hranici, ve skutečnosti existují dvě další, takže hranice jsou téměř nevyhnutelné, avšak metoda je funkční. Hranice však může být také vytvořena iterativní geometrickou konstrukcí navrženou Archimédovým Žaludek v prostředí pravidelného dodekagonu. V tomto případě je úkolem dát racionální aproximace tečny π / 12.

Reference

  1. ^ Knorr, Wilbur R. (1986-12-01). "Archimédova dimenze kruhu: Pohled na genezi existujícího textu". Archiv pro historii přesných věd. 35 (4): 281–324. doi:10.1007 / BF00357303. ISSN  0003-9519.
  2. ^ Lit, L.W.C. (Eric) van. „Verze Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī Měření kruhu Archimeda z jeho Revize středních knih“. Tarikh-e Elm. The měření kruhu napsal Archimedes (asi 250 př. n. l.)
  3. ^ Knorr, Wilbur R. (1986). Starodávná tradice geometrických problémů. Courier Corporation. p. 153. ISBN  9780486675329. Většina zpráv o Archimédových pracích přiřadila toto psaní době relativně pozdě v jeho kariéře. Tento názor je však důsledkem prostého nedorozumění.
  4. ^ Heath, Thomas Little (1921), Historie řecké matematiky, Boston: Adamant Media Corporation, ISBN  978-0-543-96877-7, vyvoláno 2008-06-30
  5. ^ A b "Archimedes". Encyklopedie Britannica. 2008. Citováno 2008-06-30.
  6. ^ A b C Heath, Thomas Little (1897), Díla Archimeda, Cambridge University: Cambridge University Press., Str.lxxvii , 50, vyvoláno 2008-06-30
  7. ^ Heath, Thomas Little (1931), Manuál řecké matematiky, Mineola, NY: Dover Publications, str. 146, ISBN  978-0-486-43231-1