Rovnoramenný lichoběžník - Isosceles trapezoid

Rovnoramenný lichoběžník
Rovnoramenný lichoběžník s osou symetrie
Typ	čtyřúhelník, lichoběžník
Hrany a vrcholy	4
Skupina symetrie	Dih2, [], (*), objednávka 2
Duální mnohoúhelník	papírový drak
Vlastnosti	konvexní, cyklický

v Euklidovská geometrie, an rovnoramenný lichoběžník (rovnoramenný lichoběžník v Britská angličtina ) je konvexní čtyřúhelník s řadou symetrie půlící dvojici protilehlých stran. Jedná se o speciální případ a lichoběžník. Alternativně jej lze definovat jako a lichoběžník ve kterém jsou obě nohy a oba základní úhly stejné míry.^[1] Všimněte si, že není obdélníkový rovnoběžník není rovnoramenný lichoběžník z důvodu druhé podmínky nebo proto, že nemá žádnou linii symetrie. V každém rovnoramenném lichoběžníku jsou dvě protilehlé strany (základny) paralelní a dvě další strany (nohy) jsou stejně dlouhé (vlastnosti sdílené s rovnoběžník ). Úhlopříčky jsou také stejně dlouhé. Základní úhly rovnoramenného lichoběžníku jsou v míře stejné (ve skutečnosti existují dva páry stejných základních úhlů, kde jeden základní úhel je doplňkový úhel úhlu základny na druhé základně).

Speciální případy

Zvláštní případy rovnoramenných lichoběžníky

Obdélníky a čtverce jsou obvykle považovány za zvláštní případy rovnoramenných lichoběžníků, i když některé zdroje by je vylučovaly.^[2]

Dalším zvláštním případem je a 3-stranný lichoběžník, někdy známý jako a trilaterální lichoběžník^[3] nebo a trisosceles lichoběžník.^[4] Mohou být také vidět pitvané z pravidelné mnohoúhelníky 5 nebo více stran jako zkrácení 4 po sobě jdoucích vrcholů.

Self-křižovatky

Jakékoli nepřekročení čtyřúhelník s přesně jednou osou symetrie musí být rovnoramenný lichoběžník nebo a papírový drak.^[5] Pokud jsou však povoleny křížení, musí být sada symetrických čtyřúhelníků rozšířena tak, aby zahrnovala také zkřížené rovnoramenné lichoběžníky, zkřížené čtyřúhelníky, ve kterých jsou zkřížené strany stejné délky a ostatní strany jsou rovnoběžné, a antiparalelogramy, překřížené čtyřúhelníky, ve kterých mají protilehlé strany stejnou délku.

Každý antiparalelogram má rovnoramenný lichoběžník konvexní obal, a mohou být vytvořeny z úhlopříček a nerovnoběžných stran rovnoramenného lichoběžníku.^[6]

Konvexní rovnoramenné lichoběžník	Překřížené rovnoramenné lichoběžník	antiparalelogram

Charakterizace

Pokud je známo, že čtyřúhelník je a lichoběžník, to je ne postačuje pouze ke kontrole, že nohy mají stejnou délku, aby bylo možné vědět, že se jedná o rovnoramenný lichoběžník, protože kosočtverec je zvláštní případ lichoběžníku se stejnými délkami, ale není rovnoramenný lichoběžník, protože postrádá linii symetrie středy protilehlých stran.

Kterákoli z následujících vlastností odlišuje rovnoramenný lichoběžník od ostatních lichoběžníků:

• Úhlopříčky mají stejnou délku.
• Základní úhly mají stejnou míru.
• Segment, který spojuje středy paralelních stran, je na ně kolmý.
• Opačné úhly jsou doplňkové, což zase znamená, že rovnoramenné lichoběžníky jsou cyklické čtyřstěny.
• Úhlopříčky se navzájem dělí na segmenty s délkami, které jsou párově stejné; na základě obrázku níže, AE = DE, BÝT = CE (a AE ≠ CE pokud si přejete vyloučit obdélníky).

Úhly

V rovnoramenném lichoběžníku mají základní úhly po párech stejnou míru. Na obrázku níže úhly ∠ABC a ∠DCB jsou tupý úhly stejné míry, zatímco úhly ∠ŠPATNÝ a ∠CDA jsou ostré úhly, stejného opatření.

Protože řádky INZERÁT a před naším letopočtem jsou rovnoběžné, úhly sousedící s protilehlými základnami jsou doplňkový, to znamená úhly ∠ABC + ∠ŠPATNÝ = 180°.

Úhlopříčky a výška

Další rovnoramenný lichoběžník.

The úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku mají stejnou délku; to znamená, že každý rovnoramenný lichoběžník je ekvidiagonální čtyřúhelník. Diagonály se navíc dělí ve stejném poměru. Jak je znázorněno, úhlopříčky AC a BD mají stejnou délku (AC = BD) a rozdělte se na segmenty stejné délky (AE = DE a BÝT = CE).

The poměr ve kterém je každá úhlopříčka rozdělena, se rovná poměru délek paralelních stran, které protínají, tj.

${ displaystyle { frac {AE} {EC}} = { frac {DE} {EB}} = { frac {AD} {BC}}.}$

Délka každé úhlopříčky je podle Ptolemaiova věta, dána

${ displaystyle p = { sqrt {ab + c ^ {2}}}}$

kde A a b jsou délky paralelních stran INZERÁT a před naším letopočtem, a C je délka každé nohy AB a CD.

Výška je podle Pythagorova věta, dána

${ displaystyle h = { sqrt {p ^ {2} - left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2}}} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}.}$

Vzdálenost od bodu E na základnu INZERÁT je dána

${ displaystyle d = { frac {ah} {a + b}}}$

kde A a b jsou délky paralelních stran INZERÁT a před naším letopočtem, a h je výška lichoběžníku.

Plocha

Plocha rovnoramenného (nebo jakéhokoli) lichoběžníku se rovná průměru průměrů délky základny a vrcholu (paralelní strany) krát výška. V sousedním diagramu, pokud píšeme INZERÁT = A, a před naším letopočtem = ba výška h je délka úsečky mezi INZERÁT a před naším letopočtem to je na ně kolmé, pak oblast K. je uveden následovně:

${ displaystyle K = { frac {h} {2}} vlevo (a + b vpravo).}$

Pokud je místo výšky lichoběžníku běžná délka nohou AB =CD = C je známo, pak lze oblast vypočítat pomocí Brahmaguptův vzorec pro oblast cyklického čtyřúhelníku, která se dvěma stejnými stranami zjednodušuje na

${ displaystyle K = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) ^ {2}}},}$

-kde ${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (a + b + 2c)}$ je poloobvod lichoběžníku. Tento vzorec je analogický k Heronův vzorec vypočítat plochu trojúhelníku. Předchozí vzorec pro oblast lze také zapsat jako

${ displaystyle K = { frac {1} {4}} { sqrt {(a + b) ^ {2} (a-b + 2c) (b-a + 2c)}}.}$

Circumradius

Poloměr v popsané kružnici je dán vztahem^[7]

${ displaystyle R = c { sqrt { frac {ab + c ^ {2}} {4c ^ {2} - (a-b) ^ {2}}}}.}$

V obdélník kde A = b toto je zjednodušeno na ${ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}}}$.

Viz také

• Rovnoramenný tangenciální lichoběžník

Reference

externí odkazy

• Některé technické vzorce zahrnující rovnoramenné lichoběžníky