Tangenciální lichoběžník - Tangential trapezoid

Tangenciální lichoběžník.

v Euklidovská geometrie, a tangenciální lichoběžník, také nazývaný a vymezený lichoběžník, je lichoběžník jehož čtyři strany jsou všechny tečna do a kruh v lichoběžníku: incircle nebo vepsaný kruh. Jedná se o speciální případ a tangenciální čtyřúhelník ve kterém je alespoň jeden pár protilehlých stran paralelní. Pokud jde o jiné lichoběžníky, rovnoběžné strany se nazývají základny a další dvě strany nohy. Nohy mohou být stejné (viz rovnoramenný tangenciální lichoběžník níže), ale nemusí být.

Speciální případy

Příklady tangenciálních lichoběžníků jsou kosočtverec a čtverce.

Charakterizace

Pokud je incircle tečna do stran AB a CD na Ž a Y respektive pak tangenciální čtyřúhelník abeceda je také a lichoběžník s rovnoběžnými stranami AB a CD kdyby a jen kdyby^{[1]:Thm. 2}

${ displaystyle AW cdot DY = BW cdot CY}$

a INZERÁT a před naším letopočtem jsou rovnoběžné strany lichoběžníku právě tehdy

${ displaystyle AW cdot BW = CY cdot DY.}$

Plocha

Vzorec pro oblast lichoběžníku lze zjednodušit pomocí Pitotova věta získat vzorec pro oblast tangenciálního lichoběžníku. Pokud mají základny délky A a ba kterákoli z ostatních dvou stran má délku C, pak oblast K. je dáno vzorcem^[2]

${ displaystyle K = { frac {a + b} {| b-a |}} { sqrt {ab (a-c) (c-b)}}.}$

Plochu lze vyjádřit pomocí délek tečen E, F, G, h tak jako^{[3]:str. 129}

${ displaystyle K = { sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Inradius

Při použití stejných notací jako pro plochu je poloměr v kruhu^[2]

${ displaystyle r = { frac {K} {a + b}} = { frac { sqrt {ab (a-c) (c-b)}} {| b-a |}}.}$

The průměr incircle se rovná výšce tangenciálního lichoběžníku.

Inradius lze také vyjádřit pomocí délky tečen tak jako^{[3]:str. 129}

${ displaystyle r = { sqrt [{4}] {efgh}}.}$

Navíc, pokud jsou tečny délky e, f, g, h vycházejí z vrcholů ABECEDA a AB je paralelní s DC, pak^[1]

${ displaystyle r = { sqrt {eh}} = { sqrt {fg}}.}$

Vlastnosti incenteru

Pokud je incircle tečna k základnám v P a Q, pak P, Já a Q jsou kolineární, kde Já je stimul.^[4]

Úhly POMOC a BIC v tangenciálním lichoběžníku abeceda, se základnami AB a DC, jsou správné úhly.^[4]

Motivátor leží na mediánu (také se nazývá střední segment; tj. Segment spojující střední body nohou).^[4]

Další vlastnosti

The medián (střední segment) tangenciálního lichoběžníku se rovná jedné čtvrtině obvod lichoběžníku. Rovná se to také polovině součtu bází, jako u všech lichoběžníků.

Pokud jsou nakresleny dva kruhy, každý s průměrem shodným s rameny tangenciálního lichoběžníku, pak jsou tyto dva kruhy tečna navzájem.^[5]

Pravý tangenciální lichoběžník

Pravý tangenciální lichoběžník.

A pravý tangenciální lichoběžník je tangenciální lichoběžník, kde jsou dva sousední úhly správné úhly. Pokud mají základny délky A a b, pak je inradius^[6]

${ displaystyle r = { frac {ab} {a + b}}.}$

Tak průměr incircle je harmonický průměr základen.

Pravý tangenciální lichoběžník má plocha^[6]

${ displaystyle displaystyle K = ab}$

a jeho obvod P je^[6]

${ displaystyle displaystyle P = 2 (a + b).}$

Rovnoramenný tangenciální lichoběžník

Každý rovnoramenný tangenciální lichoběžník je bicentrický.

An rovnoramenný tangenciální lichoběžník je tangenciální lichoběžník, kde jsou nohy stejné. Vzhledem k tomu, že rovnoramenný lichoběžník je cyklický, rovnoramenný tangenciální lichoběžník je a bicentrický čtyřúhelník. To znamená, že má jak incircle, tak a obvod.

Pokud jsou základny A a b, pak je inradius dán vztahem^[7]

${ displaystyle r = { tfrac {1} {2}} { sqrt {ab}}.}$

Odvodit tento vzorec bylo jednoduché Sangaku problém od Japonsko. Z Pitotova věta z toho vyplývá, že délky nohou jsou poloviční jako součet základen. Protože průměr incircle je odmocnina součinu základů poskytuje rovnoramenný tangenciální lichoběžník pěknou geometrickou interpretaci aritmetický průměr a geometrický průměr základen jako délka nohy a průměr incircle.

Oblast K. rovnoramenného tangenciálního lichoběžníku se základnami A a b darováno^[8]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} { sqrt {ab}} (a + b).}$

Reference