Lambertův čtyřúhelník - Lambert quadrilateral

Lambertův čtyřúhelník

v geometrie, a Lambertův čtyřúhelník,^[1] pojmenoval podle Johann Heinrich Lambert,je čtyřúhelník ve kterém tři z jeho úhlů jsou pravé úhly. Historicky byl čtvrtý úhel Lambertova čtyřúhelníku značně zajímavý, protože pokud by bylo možné ukázat, že jde o pravý úhel, pak by euklidovský paralelní postulát lze dokázat jako větu. Nyní je známo, že typ čtvrtého úhlu závisí na geometrii, ve které čtyřúhelník existuje. v hyperbolická geometrie čtvrtý úhel je akutní, v Euklidovská geometrie to je pravý úhel a v eliptická geometrie to je tupý úhel.

Lambertův čtyřúhelník může být sestaven z a Saccheri čtyřúhelník spojením středů základny a vrcholu Saccheriho čtyřúhelníku. Tento úsečka je kolmá jak na základnu, tak na vrchol, takže každá polovina čtyřúhelníku Saccheri je Lambertův čtyřúhelník.

Lambertův čtyřúhelník v hyperbolické geometrii

v hyperbolická geometrie Lambertův čtyřúhelník AOBF Kde úhly ${úhel zobrazení FAO, úhel AOB, úhel OBF}$ jsou že jo, a F je naproti Ó , ${úhel zobrazení AFB}$ je ostrý úhel a zakřivení = -1 platí následující vztahy:^[2]

${displaystyle sinh AF = sinh OBcosh BF}$

${displaystyle anh AF = cosh OA anh OB}$

${displaystyle sinh BF = sinh OAcosh AF}$

${displaystyle anh BF = cosh OB anh OA}$

${displaystyle cosh OF = cosh OAcosh AF}$

${displaystyle cosh OF = cosh OBcosh BF}$

${displaystyle sin angle AFB = {frac {cosh OB} {cosh AF}} = {frac {cosh OA} {cosh BF}}}$

${displaystyle cos angle AFB = sinh OAsinh OB = anh AF anh BF}$

${displaystyle úhel postýlky AFB = anh OAsinh AF = anh OBsinh BF}$

${displaystyle sin angle AOF = {frac {sinh AF} {sinh OF}}}$

${displaystyle cos angle AOF = {frac {anh OA} {anh OF}}}$

${displaystyle an angle AOF = {frac {anh AF} {sinh OA}}}$

Kde ${displaystyle anh, cosh, sinh}$ jsou hyperbolické funkce

Příklady

Lambertův čtyřúhelník základní doména v orbifold * p222
*3222 symetrie s úhlem 60 stupňů v jednom ze svých rohů.	*4222 symetrie s úhlem 45 stupňů v jednom ze svých rohů.	Omezující Lambertův čtyřúhelník má 3 pravé úhly a jeden úhel 0 stupňů s ideálním vrcholem v nekonečnu, definujícím orbifold *∞222 symetrie.

Viz také

Neeuklidovská geometrie

Poznámky

^ alternativní název Ibn al-Haytham – Lambert čtyřúhelník, bylo navrženo v Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988), Historie neeuklidovské geometrie: vývoj konceptu geometrického prostoru, str. 65. Springer, ISBN 0-387-96458-4, na počest Ibn al-Haytham
^ Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.436. ISBN 0387906940.

Reference

George E. Martin, Základy geometrie a neeuklidovské roviny, Springer-Verlag, 1975
M. J. Greenberg, Euklidovské a neeuklidovské geometrie: vývoj a historie, 4. vydání, W. H. Freeman, 2008.

[1] ternativní název Ibn al-Haytham – Lambert čtyřúhelník, bylo navrženo v Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988), Historie neeuklidovské geometrie: vývoj konceptu geometrického prostoru, str. 65. Springer, ISBN 0-387-96458-4, na počest Ibn al-Haytham

[2] Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.436. ISBN 0387906940.

[1]

[2]