Vivianisova věta - Vivianis theorem - Wikipedia

Pro libovolný vnitřní bod P součet délek s + u + t se rovná výšce rovnostranného trojúhelníku.

Vivianiho věta, pojmenoval podle Vincenzo Viviani, uvádí, že součet vzdáleností od žádný vnitřní bod po stranách rovnostranný trojúhelník rovná se délce trojúhelníku nadmořská výška.^[1] Je to věta běžně používaná v různých matematických soutěžích, matematické zkoušky na střední škole a má širokou použitelnost na mnoho problémů v reálném světě.

Důkaz

Vizuální důkaz Vivianiho věty

1.	Jsou zobrazeny nejbližší vzdálenosti od bodu P ke stranám rovnostranného trojúhelníku ABC.
2.	Řádky DE, FG a HI rovnoběžně s AB, BC a CA a procházející P definují podobné trojúhelníky PHE, PFI a PDG.
3.	Jelikož jsou tyto trojúhelníky rovnostranné, lze jejich nadmořské výšky otáčet tak, aby byly vertikální.
4.	Protože PGCH je rovnoběžník, lze posunout nahoru trojúhelník PHE, aby se ukázalo, že nadmořské výšky se shodují s výškami trojúhelníku ABC.

Tento důkaz závisí na snadno prokázaném tvrzení, že plocha trojúhelníku je polovina jeho základny krát jeho výška - to znamená polovina součinu jedné strany s nadmořskou výškou z této strany.^[2]

Nechť ABC je rovnostranný trojúhelník, jehož výška je h a jehož strana je A.

Nechť P je libovolný bod uvnitř trojúhelníku a u, s, t vzdálenosti P od stran. Nakreslete čáru z P do každé z A, B a C a vytvořte tři trojúhelníky PAB, PBC a PCA.

Nyní jsou oblasti těchto trojúhelníků ${ displaystyle { frac {u cdot a} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {s cdot a} {2}}}$, a ${ displaystyle { frac {t cdot a} {2}}}$. Přesně vyplňují uzavírací trojúhelník, takže součet těchto oblastí se rovná ploše uzavíracího trojúhelníku. Můžeme tedy napsat:

${ displaystyle { frac {u cdot a} {2}} + { frac {s cdot a} {2}} + { frac {t cdot a} {2}} = { frac {h cdot a} {2}}}$

a tudíž

${ displaystyle u + s + t = h}$

Q.E.D.

Konverzovat

Konverzace také platí: Pokud je součet vzdáleností od vnitřního bodu trojúhelníku po stranách nezávislý na umístění bodu, je trojúhelník rovnostranný.^[3]

Aplikace

Diagram hořlavosti pro metan

Vivianiho věta znamená, že čáry rovnoběžné se stranami rovnostranného trojúhelníku dávají souřadnice pro vytváření ternární pozemky, jako diagramy hořlavosti.

Obecněji řečeno, umožňují člověku dávat souřadnice na pravidelném simplexní stejně.

Rozšíření

Rovnoběžník

Součet vzdáleností od libovolného vnitřního bodu a rovnoběžník do stran je nezávislá na umístění bodu. Konverzace také platí: Pokud je součet vzdáleností od bodu ve vnitřku a čtyřúhelník do stran je nezávislá na umístění bodu, potom je čtyřúhelník rovnoběžník.^[3]

Výsledek se zobecní na jakoukoli 2n-gon s protilehlými stranami rovnoběžnými. Vzhledem k tomu, že součet vzdáleností mezi jakýmkoli párem protilehlých paralelních stran je konstantní, vyplývá z toho, že součet všech párových součtů mezi páry paralelních stran je také konstantní. Konverzace obecně není pravdivá, protože výsledek platí pro rovnostranný šestiúhelník, který nemusí mít protilehlé strany paralelně.

Pravidelný mnohoúhelník

Pokud je mnohoúhelník pravidelný (jak ekviangulární, tak rovnostranný ), součet vzdáleností po stranách od vnitřního bodu je nezávislý na umístění bodu. Konkrétně se to rovná n krát apothem, kde n je počet stran a apotém je vzdálenost od středu ke straně.^[3][4] Konverzace však neplatí; ne-čtvercový rovnoběžník je a protiklad.^[3]

Rovnoramenný mnohoúhelník

Součet vzdáleností od vnitřního bodu ke stranám rovnoramenný mnohoúhelník nezávisí na umístění bodu.^[1]

Konvexní mnohoúhelník

Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby měl konvexní polygon konstantní součet vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu po stranách, je to, že existují tři nekolineární vnitřní body se stejnými součty vzdáleností.^[1]

Pravidelný mnohostěn

Součet vzdáleností z kteréhokoli bodu ve vnitřku a pravidelný mnohostěn do stran je nezávislá na umístění bodu. Konverzace však neplatí, ani pro čtyřstěn.^[3]

Reference

Další čtení

• Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). „Problém Fermat-Steiner“. Amer. Matematika. Měsíční. 109 (5): 443–451. doi:10.2307/2695644. JSTOR  2695644.
• Samelson, Hans (2003). "Důkaz beze slov: Vivianiho věta s vektory". Matematika. Mag. 76 (3): 225. doi:10.2307/3219327. JSTOR  3219327.
• Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). „Opak Vivianiho věty“. The College Mathematics Journal. 37 (5): 390–391.
• Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). „Podle Vivianiho věty ve třech rozměrech“. Matematika. Gaz. 89 (515): 283–287. JSTOR  3621243.
• Zhou, Li (2012). "Viviani polytopes and Fermat Points". Sb. Matematika. J. 43 (4): 309–312. arXiv:1008.1236. CiteSeerX  10.1.1.740.7670. doi:10,4169 / college.math.j.43.4.309.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Vivianiho věta“. MathWorld.
• Li Zhou, Viviani Polytopes a Fermat Points
• „Vivianiho věta: Co je to?“. na Odřízněte uzel.
• Warendorff, Jay. „Vivianiho věta“. the Demonstrační projekt Wolfram.
• „Variace Vivianiho věty a několik zevšeobecnění“. na Dynamické geometrické náčrtky, interaktivní náčrt dynamické geometrie.
• Abboud, Elias (2017). „Místa bodů inspirovaná Vivianiho větou“. arXiv:1701.07339 [matematika ].
• Armstrong, Addie; McQuillan, Dan (2017). „Specializace, zobecnění a nový důkaz Vivianiho věty“. arXiv:1701.01344 [matematika ].