Ideální trojúhelník - Ideal triangle

Tři ideální trojúhelníky v Poincaré model disku

Dva ideální trojúhelníky v Poincarého polorovinový model

v hyperbolická geometrie an ideální trojúhelník je hyperbolický trojúhelník jehož tři vrcholy jsou všechny ideální body. Někdy se také nazývají ideální trojúhelníky ztrojnásobit asymptotické trojúhelníky nebo přesně asymptotické trojúhelníky. Vrcholy se někdy nazývají ideální vrcholy. Všechny ideální trojúhelníky jsou shodný.

Vlastnosti

Ideální trojúhelníky mají následující vlastnosti:

• Všechny ideální trojúhelníky jsou navzájem shodné.
• Vnitřní úhly ideálního trojúhelníku jsou všechny nulové.
• Ideální trojúhelník má nekonečný obvod.
• Ideálním trojúhelníkem je největší možný trojúhelník v hyperbolické geometrii.

Ve standardní hyperbolické rovině (povrch, kde je konstanta Gaussovo zakřivení is −1) máme také následující vlastnosti:

• Jakýkoli ideální trojúhelník má plochu π.^[1]

Vzdálenosti v ideálním trojúhelníku

Rozměry související s ideálním trojúhelníkem a jeho kruhem, zobrazené na obrázku Model Beltrami – Klein (vlevo) a Poincaré model disku (že jo)

• The vepsaný kruh k ideálnímu trojúhelníku má poloměr

${ displaystyle r = ln { sqrt {3}} = { frac {1} {2}} ln 3 = operatorname {artanh} { frac {1} {2}} = 2 operatorname {artanh } (2 - { sqrt {3}}) =}$${ displaystyle = operatorname {arsinh} { frac {1} {3}} { sqrt {3}} = operatorname {arcosh} { frac {2} {3}} { sqrt {3}} přibližně 0,549}$ .^[2]

Vzdálenost od libovolného bodu v trojúhelníku k nejbližší straně trojúhelníku je menší nebo rovna poloměru r výše, s rovností pouze pro střed vepsané kružnice.

• Vepsaný kruh se setkává s trojúhelníkem ve třech bodech tečnosti a tvoří rovnostranný kontaktní trojúhelník s délkou strany ${ displaystyle d = ln left ({ frac {{ sqrt {5}} + 1} {{ sqrt {5}} - 1}} right) = 2 ln varphi přibližně 0,962}$^[2] kde ${ displaystyle varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ je Zlatý řez.

Kruh s poloměrem d kolem bodu uvnitř trojúhelníku se setká nebo protne alespoň dvě strany trojúhelníku.

• Vzdálenost od kteréhokoli bodu na straně trojúhelníku k jiné straně trojúhelníku je rovna nebo menší než ${ displaystyle a = ln left (1 + { sqrt {2}} right) cca 0,881}$, s rovností pouze pro body tečnosti popsané výše.

A je také nadmořská výška z Schweikartův trojúhelník.

Pokud je zakřivení -K. všude spíše než −1 by se výše uvedené oblasti měly vynásobit 1 /K. a délky a vzdálenosti by měly být vynásobeny 1 /√K..^{[Citace je zapotřebí ]}

Podmínka tenkého trojúhelníku

Podmínka δ-tenkého trojúhelníku použitá v δ-hyperbolický prostor

Protože ideální trojúhelník je největší možný trojúhelník v hyperbolické geometrii, výše uvedená opatření jsou maxima možná pro všechny hyperbolický trojúhelník, tato skutečnost je důležitá při studiu δ-hyperbolický prostor.

Modely

V Poincaré model disku hyperbolické roviny je ideální trojúhelník ohraničen třemi kruhy, které protínají hraniční kruh v pravých úhlech.

V Poincarého polorovinový model, ideální trojúhelník je modelován pomocí arbelos, číslo mezi třemi vzájemně tečnými půlkruhy.

V Model Beltrami – Klein z hyperbolické roviny je ideální trojúhelník modelován euklidovským trojúhelníkem, který je vymezený hraničním kruhem. Všimněte si, že v modelu Beltrami-Klein nejsou úhly vrcholů ideálního trojúhelníku nulové, protože model Beltrami-Klein, na rozdíl od modelů Poincarého disku a polorovin, není konformní tj. nezachovává úhly.

Skutečná ideální skupina trojúhelníků

Diskový model Poincaré vykládal ideální trojúhelníky

Ideální (∞ ∞ ∞) skupina trojúhelníků

Další ideální obklad

Skutečný ideál skupina trojúhelníků je reflexní skupina generované odrazy hyperbolické roviny po stranách ideálního trojúhelníku. Algebraicky je izomorfní s produkt zdarma tří skupin dvou řádů (Schwarz 2001).

Reference

Bibliografie

• Schwartz, Richard Evan (2001). "Ideální skupiny trojúhelníků, promáčknuté tori a numerická analýza". Annals of Mathematics. Ser. 2. 153 (3): 533–598. arXiv:math.DG / 0105264. doi:10.2307/2661362. JSTOR  2661362. PAN  1836282.