Hectogon - Hectogon

Pravidelný hektogon
Pravidelný hektogon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	100
Schläfliho symbol	{100}, t {50}, tt {25}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.100), objednat 2 × 100
Vnitřní úhel (stupňů )	176.4°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a hektogon nebo hecatontagon nebo 100 gonů^[1][2] je stostranný polygon.^[3][4] Součet vnitřních úhlů všech hektogonů je 17640 stupňů.

Pravidelný hektogon

A pravidelný hektogon je reprezentován Schläfliho symbol {100} a lze jej zkonstruovat jako zkrácen pentacontagon, t {50}, nebo dvakrát zkrácený icosipentagon, tt {25}.

Jeden vnitřní úhel v běžném hektogonu je 176²⁄₅°, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 3³⁄₅°.

The plocha pravidelného hektogonu je (s t = délka hrany)

${displaystyle A = 25t ^ {2} postýlka {frac {pi} {100}}}$

a jeho inradius je

${displaystyle r = {frac {1} {2}} tcot {frac {pi} {100}}}$

The circumradius běžného hektogonu je

${displaystyle R = {frac {1} {2}} tcsc {frac {pi} {100}}}$

Protože 100 = 2² × 5², počet stran obsahuje a opakoval Fermat prime (dále jen číslo 5 ). Pravidelný hektogon tedy není konstruovatelný mnohoúhelník.^[5] Ve skutečnosti to není ani možné pomocí použití úhlový trisektor, protože počet stran není ani zřetelným produktem Pierpont připravuje, ani součin sil dvou a tří.^[6] Není známo, zda je to běžný hektogon neusis konstruovatelný.

Hektogon je však konstruovatelný pomocí pomocné křivky, jako je například Archimédova spirála. Úhel 72 ° je konstruovatelný pomocí kompasu a pravítka, takže možným přístupem ke konstrukci jedné strany hektogonu je konstrukce úhlu 72 ° pomocí kompasu a pravítka, použití Archimédovy spirály ke konstrukci úhlu 14,4 ° a rozříznutí jedné z Úhly 14,4 ° dvakrát.

Přesná konstrukce s pomocí kvadratrixu Hippias

Hectogon, přesná konstrukce pomocí quadratrix Hippias jako další pomoc

Symetrie

Symetrie pravidelného hektogonu. Světle modré čáry zobrazují podskupiny indexu 2. Podrámce 3 v rámečku jsou pozičně spojeny s podskupinami indexu 5.

The pravidelný hektogon má Dih₁₀₀ dihedrální symetrie, řád 200, představovaný 100 řádky odrazu. Dih₁₀₀ má 8 dihedrálních podskupin: (Dih₅₀, Dih₂₅), (Dih₂₀, Dih₁₀, Dih₅), (Dih₄, Dih₂a Dih₁). Má také 9 dalších cyklický symetrie jako podskupiny: (Z₁₀₀, Z₅₀, Z₂₅), (Z.₂₀, Z₁₀, Z₅) a (Z.₄, Z₂, Z₁), se Z_n představující π /n radiánová rotační symetrie.

John Conway označí tyto nižší symetrie písmenem a pořadí symetrie následuje za písmenem.^[7] r200 představuje úplnou symetrii a a1 štítky bez symetrie. On dává d (úhlopříčka) se zrcadlovými čarami vedenými vrcholy, str se zrcadlovými liniemi přes hrany (kolmé), i se zrcadlovými čarami procházejícími jak vrcholy, tak hranami, a G pro rotační symetrii.

Tyto nižší symetrie umožňují stupně volnosti při definování nepravidelných hektogonů. Pouze g100 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Pitva

100 gonů s 4900 kosodélníky

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[8]To platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tom případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný hektogon, m= 50, lze jej rozdělit na 1225: 25 čtverců a 24 sad po 50 romboch. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 50 krychlí.

Příklady

Hektogram

Hektogram je 100stranný hvězdný polygon. Existuje 19 pravidelných formulářů^[9] dána Schläfliho symboly {100/3}, {100/7}, {100/9}, {100/11}, {100/13}, {100/17}, {100/19}, {100/21}, {100 / 23}, {100/27}, {100/29}, {100/31}, {100/33}, {100/37}, {100/39}, {100/41}, {100/43 }, {100/47} a {100/49}, stejně jako 30 běžných hvězdné postavy se stejným konfigurace vrcholů.

Pravidelný hvězdné polygony {100 / k}

Obrázek	{100/3}	{100/7}	{100/11}	{100/13}	{100/17}	{100/19}
Vnitřní úhel	169.2°	154.8°	140.4°	133.2°	118.8°	111.6°
Obrázek	{100/21}	{100/23}	{100/27}	{100/29}	{100/31}	{100/37}
Vnitřní úhel	104.4°	97.2°	82.8°	75.6°	68.4°	46.8°
Obrázek	{100/39}	{100/41}	{100/43}	{100/47}	{100/49}
Vnitřní úhel	39.6°	32.4°	25.2°	10.8°	3.6°

Viz také

• Decagon (10)
• Chiliagon (1000)
• Myriagon (10000)
• Megagon (1000000)

Reference

• Weisstein, Eric W. "Hectogon". MathWorld.
• Pojmenování mnohoúhelníků a mnohostěnů
• hecatonagon