Aristarchussova nerovnost - Aristarchuss inequality - Wikipedia

Aristarchova nerovnost (po řečtině astronom a matematik Aristarchos Samosův; C. 310 - c. 230 př. N. L.) Je zákon z trigonometrie který uvádí, že pokud α a β jsou ostré úhly (tj. mezi 0 a pravým úhlem) a β < α pak

{ displaystyle { frac { sin alpha} { sin beta}} <{ frac { alpha} { beta}} <{ frac { tan alpha} { tan beta}}. }

Ptolemaios použil první z těchto nerovností při konstrukci jeho tabulka akordů.^[1]

Důkaz

Důkaz je důsledkem známějších nerovností ${ displaystyle 0 < sin ( alpha) < alpha < tan ( alpha)}$ , ${ displaystyle 0 < sin ( beta) < sin ( alpha) <1}$ a ${ displaystyle 1> cos ( beta)> cos ( alfa)> 0}$ .

Důkaz první nerovnosti

Pomocí těchto nerovností to můžeme nejprve dokázat

{ displaystyle { frac { sin ( alpha)} { sin ( beta)}} <{ frac { alpha} { beta}}.}

Nejprve si všimneme, že nerovnost je ekvivalentní ${ displaystyle { frac { sin ( alpha)} { alpha}} <{ frac { sin ( beta)} { beta}}}$ který sám o sobě lze přepsat jako ${ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} <{ frac { sin ( beta)} { beta}}.}$

Nyní to chceme ukázat

{ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} < cos ( beta) <{ frac { sin ( beta)} { beta}}.}

Druhá nerovnost je prostě ${ displaystyle beta < tan beta}$ . První je pravdivý, protože

{ displaystyle { frac { sin ( alpha) - sin ( beta)} { alpha - beta}} = { frac {2 cdot sin left ({ frac { alpha - beta} {2}} right) cos left ({ frac { alpha + beta} {2}} right)} { alpha - beta}} <{ frac {2 cdot left ({ frac { alpha - beta} {2}} vpravo) cdot cos ( beta)} { alpha - beta}} = cos ( beta).}

Důkaz druhé nerovnosti

Nyní chceme ukázat druhou nerovnost, tj. Že:

{ displaystyle { frac { alpha} { beta}} <{ frac { tan ( alpha)} { tan ( beta)}}}

Nejprve si všimneme, že kvůli počátečním nerovnostem máme toto:

{ displaystyle beta < tan ( beta) = { frac { sin ( beta)} { cos ( beta)}} <{ frac { sin ( beta)} { cos ( alfa)}}}

V důsledku toho pomocí toho ${ displaystyle 0 < alpha - beta < alpha}$ v předchozí rovnici (nahrazení ${ displaystyle beta}$ podle ${ displaystyle alpha - beta < alpha}$ ) získáváme: