Pentacontagon - Pentacontagon

Pravidelný pentacontagon
Pravidelný pentacontagon
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	50
Schläfliho symbol	{50}, t {25}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.50), objednat 2 × 50
Vnitřní úhel (stupňů )	172.8°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a pentacontagon nebo pětikontagon nebo 50-gon je padesátistranný polygon.^[1][2] Součet vnitřních úhlů všech pentacontagonů je 8640 stupňů.

A pravidelný pentacontagon je reprezentován Schläfliho symbol {50} a lze jej zkonstruovat jako kvaziregulát zkrácen icosipentagon, t {25}, který střídá dva typy hran.

Pravidelné vlastnosti pentacontagon

Jeden vnitřní úhel v běžném pentacontagon je 172⁴⁄₅°, což znamená, že jeden vnější úhel by byl 7¹⁄₅°.

The plocha pravidelného pentacontagonu je (s t = délka hrany)

${ displaystyle A = { frac {25} {2}} t ^ {2} cot { frac { pi} {50}}}$

a jeho inradius je

${ displaystyle r = { frac {1} {2}} t cot { frac { pi} {50}}}$

The circumradius běžného pentacontagonu je

${ displaystyle R = { frac {1} {2}} t csc { frac { pi} {50}}}$

Protože 50 = 2 × 5², běžný pentacontagon není konstruovatelný používat kompas a pravítko,^[3] a není konstruovatelný, i když použití úhlový trisektor je povoleno.^[4] Je to však možné pomocí pomocné křivky (například quadratrix Hippias nebo Archimédova spirála ), protože takové křivky lze použít k rozdělení úhlů na libovolný počet stejných částí. Například lze zkonstruovat úhel 36 ° pomocí kompasu a pravítka a pokračovat v jeho kvintisekci (rozdělit jej na pět stejných částí) pomocí Archimédovy spirály, čímž se získá úhel 7,2 ° potřebný pro konstrukci pentacontagon.

Symetrie

Symetrie pravidelného pentacontagonu. Světle modré čáry zobrazují podskupiny indexu 2. Podrámce 3 v rámečku jsou pozičně spojeny s podskupinami indexu 5.

The běžný pentacontagon má Dih₅₀ dihedrální symetrie, řád 100, představovaný 50 řádky odrazu. Dih₅₀ má 5 dihedrálních podskupin: Dih₂₅, (Dih₁₀, Dih₅) a (Dih₂, Dih₁). Má také dalších 6 cyklický symetrie jako podskupiny: (Z₅₀, Z₂₅), (Z.₁₀, Z₅) a (Z.₂, Z₁), se Z_n představující π /n radiánová rotační symetrie.

John Conway označí tyto nižší symetrie písmenem a pořadí symetrie následuje za písmenem.^[5] On dává d (úhlopříčka) se zrcadlovými čarami vedenými vrcholy, str se zrcadlovými liniemi přes hrany (kolmé), i se zrcadlovými čarami procházejícími jak vrcholy, tak hranami, a G pro rotační symetrii. a1 štítky bez symetrie.

Tyto nižší symetrie umožňují stupně volnosti při definování nepravidelných pentakontagonů. Pouze g50 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Pitva

50 gon s 1200 kosočtverci

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé), lze je rozdělit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[6]Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v takovém případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro běžný pentacontagon, m= 25, lze jej rozdělit na 300: 12 sad 25 kosočtverců. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 25 krychlí.

Příklady

Pentacontagram

Pentacontagram je 50stranný hvězdný polygon. Existuje 9 pravidelných formulářů daných Schläfliho symboly {50/3}, {50/7}, {50/9}, {50/11}, {50/13}, {50/17}, {50/19}, {50/21} a { 50/23}, stejně jako 16 sloučenin hvězdné postavy se stejným konfigurace vrcholů.

Pravidelný hvězdné polygony {50 / k}

Obrázek	{​50⁄3}	{​50⁄7}	{​50⁄9}	{​50⁄11}	​50⁄13
Vnitřní úhel	158.4°	129.6°	115.2°	100.8°	86.4°
Obrázek	{​50⁄17 }	{​50⁄19 }	{​50⁄21 }	{​50⁄23 }
Vnitřní úhel	57.6°	43.2°	28.8°	14.4°

Reference

• Weisstein, Eric W. „Pentacontagon“. MathWorld.
• Pojmenování mnohoúhelníků a mnohostěnů
• Pentecontagon