Vztahuje tečnu poloviny úhlu k trigonometrickým funkcím celého úhlu
v trigonometrie, tečné poloviční úhlové vzorce vztahují tangens poloviny úhlu k trigonometrickým funkcím celého úhlu. Mezi nimi jsou následující
Z těchto lze odvodit identity vyjadřující sinus, kosinus a tangens jako funkce tečen polovičních úhlů:
Důkazy
Algebraické důkazy
Použití vzorce s dvojitým úhlem a hřích2 α + cos2 α = 1,
přičemž kvocient vzorců pro výnosy sinu a kosinu
Kombinace Pythagorovy identity s dvojitým úhlem pro kosinus, ,
přeskupit a vzít druhé odmocniny výnosy
a
který po rozdělení dává
= = =
nebo alternativně
= = = .
Také pomocí vzorců pro sčítání a odčítání úhlu pro sinus a kosinus získáme:
Párové přidání výše uvedených čtyř vzorců poskytne:
Nastavení a a nahrazení výnosů:
Vydělením součtu sinusů součtem kosinů se dosáhne:
Geometrické důkazy
Použitím výše odvozených vzorců na obrázku kosočtverce vpravo se to snadno ukáže
Boky tohoto kosočtverce mají délku 1. Úhel mezi vodorovnou čarou a zobrazenou úhlopříčkou je(A + b)/2. Jedná se o geometrický způsob, jak dokázat tečný poloviční úhel vzorce. Vzorce hřích((A + b)/2) a cos ((A + b)/2) stačí ukázat jejich vztah k úhlopříčce, nikoli skutečnou hodnotu.
V kruhu jednotek to ukazuje aplikace výše . Podle podobné trojúhelníky,
- . Z toho vyplývá, že
Dotčená náhrada polovičního úhlu v integrálním počtu
V různých aplikacích trigonometrie, je užitečné přepsat trigonometrické funkce (jako sinus a kosinus ) ve smyslu racionální funkce nové proměnné t. Tyto identity jsou souhrnně označovány jako tečné poloviční úhlové vzorce z důvodu definice t. Tyto identity mohou být užitečné v počet pro převod racionálních funkcí v sinu a kosinu na funkce t aby našli jejich antiderivativa.
Technicky vzato, existence tangentních polovičních vzorců vyplývá ze skutečnosti, že kruh je algebraická křivka z rod 0. Jeden pak očekává, že kruhové funkce by mělo být redukovatelné na racionální funkce.
Geometricky konstrukce vypadá takto: pro jakýkoli bod (cos φ, sin φ) na jednotkový kruh, nakreslete čáru procházející skrz ni a bod (−1, 0). Tento bod prochází přes y-osi v určitém okamžiku y = t. Dá se to ukázat pomocí jednoduché geometrie t = tan (φ / 2). Rovnice pro nakreslenou čáru je y = (1 + X)t. Rovnice pro průsečík přímky a kružnice je pak a kvadratická rovnice zahrnující t. Dvě řešení této rovnice jsou (−1, 0) a (cos φ, hřích φ). To nám umožňuje psát to druhé jako racionální funkce t (řešení jsou uvedena níže).
Parametr t představuje stereografická projekce bodu (cos φ, hřích φ) na y- osa se středem projekce v (−1, 0). Tangenciální polohranné vzorce tedy poskytují převody mezi stereografickou souřadnicí t na jednotkové kružnici a standardní úhlové souřadnice φ.
Pak máme
a
Vyloučením phi mezi přímo nad a počáteční definicí t, jeden dospěl k následujícímu užitečnému vztahu pro arkustangens z hlediska přirozený logaritmus
v počet, Weierstrassova substituce se používá k nalezení antiderivativ racionální funkce z hřích φ acos φ. Po nastavení
To z toho vyplývá
pro celé číslo n, a proto
Hyperbolické identity
Jeden může hrát zcela analogickou hru s hyperbolické funkce. Bod na (pravá větev) a hyperbola darováno(hovadina θ, sinh θ). Promítáme to na y- osa z centra (−1, 0) dává následující:
s identitami
a
Použití této substituce pro hledání antiderivativ bylo zavedeno Karl Weierstrass.[Citace je zapotřebí ]
Nález θ ve smyslu t vede k následujícímu vztahu mezi hyperbolickým arkustangensem a přirozeným logaritmem:
(Místo „arc-“ se používá „ar-“, protože „arc“ má délku oblouku a „ar“ zkracuje „area“. Je to oblast mezi dvěma paprsky a hyperbolou, spíše než délka oblouku mezi dvěma měřenými paprsky podél kruhového oblouku.)
Gudermannská funkce
Při srovnání hyperbolických identit s kruhovými si člověk všimne, že zahrnují stejné funkce t, právě permutované. Pokud identifikujeme parametr t v obou případech dospějeme ke vztahu mezi kruhovými funkcemi a hyperbolickými funkcemi. To je, pokud
pak
kde gd (θ) je Gudermannská funkce. Gudermannianova funkce poskytuje přímý vztah mezi kruhovými funkcemi a hyperbolickými funkcemi, který nezahrnuje komplexní čísla. Výše uvedené popisy tečných polovičních vzorců (projekce jednotkové kružnice a standardní hyperbola na y- osa) poskytuje geometrický výklad této funkce.
Pytagorejské trojnásobky
Tangenta poloviny ostrého úhlu a pravoúhlý trojuhelník jehož strany jsou Pythagorovy trojky, budou nutně a racionální číslo v intervalu (0, 1). Naopak, když je tečna polovičního úhlu racionální číslo v intervalu (0, 1), existuje pravý trojúhelník, který má plný úhel a který má délky stran, které jsou Pythagorovou trojicí.
Viz také
externí odkazy