Equidiagonal čtyřúhelník - Equidiagonal quadrilateral

Ekvidiagonální čtyřúhelník, ukazující jeho stejné úhlopříčky, Varignon rhombus a kolmé bimedians

v Euklidovská geometrie, an ekvidiagonální čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník jehož dva úhlopříčky mít stejnou délku. Ve starověku byly důležité equidiagonální čtyřstěny Indická matematika, kde čtyřúhelníky byly klasifikovány nejprve podle toho, zda byly ekvidiagonální a poté do více specializovaných typů.^[1]

Speciální případy

Příklady ekvidiagonálních čtyřúhelníků zahrnují rovnoramenné lichoběžníky, obdélníky a čtverce.

Ekvidiagonální drak, který maximalizuje poměr obvodu k průměru, zapsaný do a Reuleauxův trojúhelník

Ze všech čtyřúhelníků tvar, který má největší poměr obvod k jeho průměr je ekvidiagonální papírový drak s úhly π / 3, 5π / 12, 5π / 6 a 5π / 12.^[2]

Charakterizace

Konvexní čtyřúhelník je ekvidiagonální, právě když je Varignon rovnoběžník, rovnoběžník tvořený středy jeho stran, je a kosočtverec. Rovnocennou podmínkou je, že bimedians čtyřúhelníku (úhlopříčky Varignonova rovnoběžníku) jsou kolmý.^[3]

Konvexní čtyřúhelník s úhlopříčnými délkami ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ a bimédiánské délky ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ je ekvidiagonální právě tehdy^[4]:Prop.1

${ displaystyle pq = m ^ {2} + n ^ {2}.}$

Plocha

The plocha K. ekvidiagonálního čtyřúhelníku lze snadno vypočítat, pokud je délka bimedians m a n jsou známy. Čtyřúhelník je ekvidiagonální právě tehdy^{[5]:str.19; [4]:Kor.4}

${ displaystyle displaystyle K = mn.}$

To je přímým důsledkem skutečnosti, že plocha konvexního čtyřúhelníku je dvakrát větší než plocha jeho Varignonova rovnoběžníku a že úhlopříčky v tomto rovnoběžníku jsou bimediány čtyřúhelníku. Použití vzorců pro délky bimediánů, oblast lze také vyjádřit pomocí stran abeceda ekvidiagonálního čtyřúhelníku a vzdálenosti X mezi střední body úhlopříček jako^[5]:str.19

${ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} { sqrt {(2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - 4x ^ {2}) (2 (b ^ {2} + d ^ {2}) - 4x ^ {2})}}.}$

Další vzorce plochy lze získat z nastavení p = q ve vzorcích pro oblast konvexního čtyřúhelníku.

Vztah k jiným typům čtyřúhelníků

A rovnoběžník je ekvidiagonální právě tehdy, pokud se jedná o obdélník,^[6] a a lichoběžník je ekvidiagonální právě tehdy, když se jedná o rovnoramenný lichoběžník. The cyklický ekvidiagonální čtyřúhelníky jsou přesně rovnoramenné lichoběžníky.

Tady je dualita mezi ekvidiagonálními čtyřúhelníky a ortodiagonální čtyřúhelníky: čtyřúhelník je ekvidiagonální, právě když je jeho Varignonův rovnoběžník ortodiagonální (kosočtverec), a čtyřúhelník je pravoúhlý, právě když je jeho Varignonův rovnoběžník ekvidiagonální (obdélník).^[3] Ekvivalentně má čtyřúhelník stejné úhlopříčky tehdy a jen tehdy, má-li kolmé bimediány, a má kolmé úhlopříčky právě tehdy, má-li stejné bimediány.^[7] Silvester (2006) poskytuje další spojení mezi ekvidiagonálními a ortodiagonálními čtyřúhelníky prostřednictvím zobecnění van Aubelova věta.^[8]

Čtyřstěny, které jsou ortodiagonální i ekvidiagonální a jejichž úhlopříčky jsou alespoň tak dlouhé jako všechny strany čtyřúhelníku, mají maximální plochu pro svůj průměr ze všech čtyřúhelníků, což řeší n = 4 případ největší malý mnohoúhelník problém. Čtverec je jeden takový čtyřúhelník, ale existuje nekonečně mnoho dalších. Equidiagonální, ortodiagonální čtyřúhelníky byly označovány jako střední čtverce ^{[4]:p. 137} protože jsou jediní, pro které Varignon rovnoběžník (s vrcholy ve středech stran čtyřúhelníku) je čtverec. Takový čtyřúhelník s několika stranami abeceda, má plochu^[4]:Thm.16

${ displaystyle K = { frac {1} {4}} vlevo (a ^ {2} + c ^ {2} + { sqrt {4 (a ^ {2} c ^ {2} + b ^ { 2} d ^ {2}) - (a ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}}} vpravo).}$

Střední čtverec rovnoběžník je přesně čtverec.

• 

  příklad středního čtverce

• 

  střední čtvercový lichoběžník

• 

  pouštní drak

Reference