Polyhedrální skupina - Polyhedral group
Involuční symetrie Cs, (*) [ ] = | Cyklická symetrie Cnv, (* nn) [n] = | Dihedrální symetrie Dnh, (* n22) [n, 2] = | |
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
Čtyřboká symetrie Td, (*332) [3,3] = | Oktaedrická symetrie Óh, (*432) [4,3] = | Ikosahedrální symetrie Jáh, (*532) [5,3] = |
v geometrie, polyedrická skupina je některý z skupiny symetrie z Platonické pevné látky.
Skupiny
Existují tři polyedrické skupiny:
- The čtyřboká skupina řádu 12, skupina rotační symetrie pravidelný čtyřstěn. Je izomorfní A4.
- The třídy konjugace z T jsou:
- identita
- 4 × rotace o 120 °, objednávka 3, cw
- 4 × otočení o 120 °, objednávka 3, ccw
- 3 × otočení o 180 °, objednávka 2
- The třídy konjugace z T jsou:
- The oktaedrická skupina řádu 24, skupina rotační symetrie krychle a pravidelný osmistěn. Je izomorfní S4.
- Třídy konjugace Ó jsou:
- identita
- 6 × otočení o 90 °, objednávka 4
- 8 × otočení o 120 °, objednávka 3
- 3 × otočení o 180 °, objednávka 4
- 6 × otočení o 180 °, objednávka 2
- Třídy konjugace Ó jsou:
- The ikosahedrální skupina řádu 60, skupina rotační symetrie pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Je izomorfní A5.
- Třídy konjugace Já jsou:
- identita
- 12 × otočení o 72 °, objednávka 5
- 12 × otočení o 144 °, objednávka 5
- 20 × otočení o 120 °, objednávka 3
- 15 × otočení o 180 °, objednávka 2
- Třídy konjugace Já jsou:
Tyto symetrie se zdvojnásobí na 24, 48, 120 pro skupiny s úplným odrazem. Odrazová symetrie má 6, 9 a 15 zrcadel. Oktaedrickou symetrii [4,3] lze chápat jako spojení 6 čtyřboká symetrie [3,3] zrcadel a 3 zrcadel dihedrální symetrie Dih2, [2,2]. Pyritohedrální symetrie je další zdvojnásobení čtyřboké symetrie.
Třídy konjugace plné čtyřboké symetrie, Td≅S4, jsou:
- identita
- 8 × rotace o 120 °
- 3 × otočení o 180 °
- 6 × odraz v rovině dvěma rotačními osami
- 6 × otočení o 90 °
Třídy konjugace pyritohedrální symetrie, Th, včetně těch z T, se dvěma třídami po 4 kombinovanými a každá s inverzí:
- identita
- 8 × rotace o 120 °
- 3 × otočení o 180 °
- inverze
- 8 × otočení o 60 °
- 3 × odraz v rovině
Třídy konjugace celé oktaedrické skupiny, Óh≅S4 × C2, jsou:
- inverze
- 6 × otočení o 90 °
- 8 × otočení o 60 °
- 3 × odraz v rovině kolmé na čtyřnásobnou osu
- 6 × odraz v rovině kolmé na 2násobnou osu
Třídy konjugace plné ikosahedrální symetrie, Jáh≅A5 × C2, zahrňte také každý s inverzí:
- inverze
- 12 × otočení o 108 °, objednávka 10
- 12 × otočení o 36 °, objednávka 10
- 20 × otočení o 60 °, objednávka 6
- 15 × odraz, objednávka 2
Chirální polyedrické skupiny
název (Koule. ) | Coxeter notace | Objednat | Abstraktní struktura | Otáčení bodů #mocenství | Diagramy | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonální | Stereografické | |||||||
T (332) | [3,3]+ | 12 | A4 | 43 32 | ||||
Th (3*2) | [4,3+] | 24 | A4×2 | 43 3*2 | ||||
Ó (432) | [4,3]+ | 24 | S4 | 34 43 62 | ||||
Já (532) | [5,3]+ | 60 | A5 | 65 103 152 |
Plné mnohostěnné skupiny
Weyl Schoe. (Koule. ) | Coxeter notace | Objednat | Abstraktní struktura | Coxeter číslo (h) | Zrcadla (m) | Zrcadlové diagramy | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonální | Stereografické | ||||||||
A3 Td (*332) | [3,3] | 24 | S4 | 4 | 6 | ||||
B3 Óh (*432) | [4,3] | 48 | S4×2 | 8 | 3 6 | ||||
H3 Jáh (*532) | [5,3] | 120 | A5×2 | 10 | 15 |
Viz také
Reference
- Coxeter, H. S. M. Pravidelné Polytopes, 3. vyd. New York: Dover, 1973. (Polyhedrální skupiny. §3.5, s. 46–47)