Konfigurace (mnohostěn) - Configuration (polytope)

v geometrie, H. S. M. Coxeter volal a běžný mnohostěn speciální druh konfigurace.

jiný konfigurace v geometrii jsou něco jiného. Tyto konfigurace mnohostěnů lze přesněji nazývat matice dopadu, kde se podobné prvky shromažďují společně v řádcích a sloupcích. Běžné polytopy budou mít jeden řádek a sloupec za k-tvář prvek, zatímco ostatní polytopy budou mít jeden řádek a sloupec pro každý typ k-face podle tříd symetrie. Polytop bez symetrie bude mít jeden řádek a sloupec pro každý prvek a matice bude vyplněna 0, pokud prvky nejsou připojeny, a 1, pokud jsou připojeny. Prvky stejné k nebude připojen a bude mít záznam tabulky „*“.[1]

Každý mnohostěn a abstraktní mnohostěn má Hasseův diagram vyjadřující tyto souvislosti, které lze systematicky popsat pomocí matice výskytu.

Konfigurační matice pro běžné polytopy

Konfiguraci pro běžný mnohostěn představuje matice, kde diagonální prvek, Ni, je počet i-tvory v mnohostěnu. Diagonální prvky se také nazývají mnohostěn f-vektor. Nediagonální (i ≠ j) prvek Nij je počet j-tvory dopadající na každého i- povrchový prvek, takže NiNij = NjNji.[2]

Princip se obecně vztahuje na n rozměry, kde 0 ≤ j < n.

Mnohoúhelníky

A pravidelný mnohoúhelník, Schläfliho symbol {q}, bude mít matici 2x2 s první řadou pro vrcholy a druhou řadou pro hrany. The objednat  G je 2q.

Obecný n-gon bude mít matici 2n x 2n s vrcholy prvních n řádků a sloupců a posledních n řádků a sloupců jako hran.

Příklad trojúhelníku

Další informace: Triangle § By_lengths_of_sides

Existují tři klasifikace symetrie a trojúhelník: rovnostranný, rovnoramenný a scalenový. Všechny mají stejné matice výskytu, ale symetrie umožňuje, aby vrcholy a hrany byly shromažďovány společně a počítány. Tyto trojúhelníky mají vrcholy označené A, B, C a hrany a, b, c, zatímco vrcholy a hrany, které lze navzájem mapovat pomocí operace symetrie, jsou označeny stejně.

Trojúhelníky
Rovnostranný
{3}
Rovnostranný trojúhelník označený prvkem.png		Rovnoramenný
{ }∨( )
Isos trojúhelníkový prvek-labeled.png		Scalene
( )∨( )∨( )
Scalene triangle element-labeled.png
(v: 3; e: 3)(v: 2 + 1; e: 2 + 1)(v: 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1)
  | A | a - + --- + --- A | 3 | 2 - + --- + --- a | 2 | 3 
  | A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1B | * 1 | 2 0 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * b | 2 0 | * 1 
  | A B C | a b c - + ------- + ------- A | 1 * * | 0 1 1B | * 1 * | 1 0 1 C | * * 1 | 1 1 0 - + ------- + ------- a | 0 1 1 | 1 * * b | 1 0 1 | * 1 * c | 1 1 0 | * * 1

Čtyřúhelníky

Další informace: Čtverec § symetrie
Čtyřstěny podle symetrie

Čtyřúhelníky lze klasifikovat podle symetrie, každá s vlastní maticí. Čtyřúhelníky existují s dvojicí párů, které budou mít stejnou matici otočenou o 180 stupňů s obrácenými vrcholy a hranami. Čtverce a rovnoběžníky a obecné čtyřúhelníky jsou podle třídy duální, takže jejich matice se při otočení o 180 stupňů nezmění.

Čtyřúhelníky
Náměstí
{4}
Čtvercový prvek označený.png		Obdélník
{ }×{ }
Rectangle element-labeled.png		Kosočtverec
{ }+{ }
Rhombus element-labeled.png		Rovnoběžník
Rovnoběžníkový prvek označený.png
(v: 4; e: 4)(v: 4; e: 2 + 2)(v: 2 + 2; e: 4)(v: 2 + 2; e: 2 + 2)
  | A | a - + --- + --- A | 4 | 2 - + --- + --- a | 2 | 4
  | A | a b - + --- + ----- A | 4 | 1 1 - + --- + ----- a | 2 | 2 * b | 2 | * 2 
  | A B | a - + ----- + --- A | 2 * | 2 B | * 2 | 2 - + ----- + --- a | 1 1 | 4
  | A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1B | * 2 | 1 1 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * b | 1 1 | * 2
Rovnoramenný lichoběžník
{ }||{ }
Isos trapezoid element-labeled.png		papírový drak
Kite element-labeled.png		Všeobecné
Čtyřstranný prvek označený.png
(v: 2 + 2; e: 1 + 1 + 2)(v: 1 + 1 + 2; e: 2 + 2)(v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1)
  | A B | a b c - + ----- + ------- A | 2 * | 1 0 1 B | * 2 | 0 1 1 - + ----- + ------ a | 2 0 | 1 * * b | 0 2 | * 1 * c | 1 1 | * * 2 
  | A B C | a b - + ------- + ---- A | 1 * * | 2 0 B | * 1 * | 0 2C | * * 2 | 1 1 - + ------- + ---- a | 1 0 1 | 2 * b | 0 1 1 | * 2 
  | A B C D | a b c d - + --------- + -------- A | 1 * * * | 1 0 0 1B | * 1 * * | 1 1 0 0 C | * * 1 * | 0 1 1 0D | * * * 1 | 0 0 1 1 - + --------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 * * * b | 0 1 1 0 | * 1 * * c | 0 0 1 1 | * * 1 * d | 1 0 0 1 | * * * 1

Složité polygony

Tato myšlenka je také použitelná pro pravidelné složité polygony, p{q}r, postavený v :

The komplexní reflexní skupina je p[q]r, objednat .[3][4]

Mnohostěn

Viz také: Platonická pevná látka § Jako konfigurace

Tuto myšlenku lze aplikovat ve třech rozměrech zvážením výskytu bodů, čar a letadla, nebo j-prostory (0 ≤ j < 3), kde každý j-prostor je incident s Njk k-prostory (j ≠ k). Psaní Nj pro počet j-prostory přítomné, danou konfiguraci může reprezentovat matice

pro Schläfliho symbol {p, q}, s skupinová objednávka  G = 4pq/(4 − (p − 2)(q − 2)).

Čtyřstěn

Další informace: Tetrahedron § Isometries_of_irregular_tetrahedra
Symetrie čtyřstěnů

Čtyřstěny mají matice, které lze také seskupit podle jejich symetrie, přičemž obecný čtyřstěn má 14 řádků a sloupců pro 4 vrcholy, 6 hran a 4 tváře. Čtyřstěny jsou sebe-duální a otočení matic o 180 stupňů (prohození vrcholů a ploch) to ponechá beze změny.

Čtyřstěn
Pravidelný
(v: 4; e: 6; f: 4)
Tetrahedron type1.png		tetragonální disphenoid
(v: 4; e: 2 + 4; f: 4)
Tetrahedron type2.png		Kosočtverečný disfenoid
(v: 4; e: 2 + 2 + 2; f: 4)
Tetrahedron type3.png		Digonal disphenoid
(v: 2 + 2; e: 4 + 1 + 1; f: 2 + 2)
Tetrahedron type6.png		Fylický disfenoid
(v: 2 + 2; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 2)
Čtyřstěn typu 4.png
  A | 4 | 3 | 3 --- + --- + --- + - a | 2 | 6 | 2 --- + --- + --- + - aaa | 3 | 3 | 4
  A | 4 | 2 1 | 3 --- + --- + ----- + - a | 2 | 4 * | 2 b | 2 | * 2 | 2 --- + --- + ----- + - aab | 3 | 2 1 | 4
   A | 4 | 1 1 1 | 3 ---- + --- + ------- + - a | 2 | 2 * * | 2 b | 2 | * 2 * | 2 c | 2 | * * 2 | 2 ---- + --- + ------- + - abc | 3 | 1 1 1 | 4
  A | 2 * | 2 1 0 | 2 1 B | * 2 | 2 0 1 | 1 2 --- + ----- + ------- + ---- a | 1 1 | 4 * * | 1 1 b | 2 0 | * 1 * | 2 0 c | 0 2 | * * 1 | 0 2 --- + ----- + ------- + ---- aab | 2 1 | 2 1 0 | 2 * aac | 1 2 | 2 0 1 | * 2
  A | 2 * | 1 0 1 1 | 1 2 B | * 2 | 1 1 1 0 | 2 1 --- + ----- + --------- + ---- a | 1 1 | 2 * * * | 1 1 b | 1 1 | * 2 * * | 1 1 c | 0 2 | * * 1 * | 2 0 d | 2 0 | * * * 1 | 0 2 --- + ----- + --------- + ---- abc | 1 2 | 1 1 1 0 | 2 * bcd | 2 1 | 1 1 0 1 | * 2
Trojúhelníková pyramida
(v: 3 + 1; e: 3 + 3; f: 3 + 1)
Tetrahedron type5.png		Zrcadlený sféroid
(v: 2 + 1 + 1; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 1 + 1)
Tetrahedron type7.png		Žádná symetrie
(v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; f: 1 + 1 + 1 + 1)
Tetrahedron type8.png
  A | 3 * | 2 1 | 2 1 B | * 1 | 0 3 | 3 0 --- + ----- + ----- + ---- a | 2 0 | 3 * | 1 1 b | 1 1 | * 3 | 2 0 --- + ----- + ----- + ---- abb | 2 1 | 1 2 | 3 * aaa | 3 0 | 3 0 | * 1
  A | 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 B | * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 C | * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0 --- + ------- + --------- + ------ a | 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 b | 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 c | 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 d | 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1 --- + ------- + --------- + ------ ABC | 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * * ACC | 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 * BCC | 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1
  A | 1 0 0 0 | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0 B | 0 1 0 0 | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1 C | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 D | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 0 0 0 0 0 | 1 1 0 0 b | 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0 c | 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 0 | 0 1 1 0 d | 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 0 | 1 0 0 1 e | 0 1 0 1 | 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1 f | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 0 0 0ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | 0 1 0 0ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1

Poznámky

  1. ^ Klitzing, Richarde. „Incident Matrices“.
  2. ^ Coxeter, Složité pravidelné polytopy, str. 117
  3. ^ Lehrer & Taylor 2009, s. 87
  4. ^ Complex Regular Polytopes, str. 117

Reference