Goldbergův mnohostěn - Goldberg polyhedron

Ikosahedrální Goldbergova mnohostěna s pětiúhelníky v červené barvě
GP (1,4) = {5 +, 3}_1,4	GP (4,4) = {5 +, 3}_4,4
GP (7,0) = {5 +, 3}_7,0	GP (3,5) = {5 +, 3}_3,5
GP (10,0) = {5 +, 3}_10,0 Rovnostranný a sférický

v matematika a konkrétněji v polyedrická kombinatorika, a Goldbergův mnohostěn je konvexní mnohostěn vyrobené z šestiúhelníků a pětiúhelníků. Poprvé je popsal Michael Goldberg (1902–1990) v roce 1937. Jsou definovány třemi vlastnostmi: každá plocha je buď pětiúhelník nebo šestiúhelník, přesně tři plochy se setkávají v každém vrcholu a mají rotační ikosaedrální symetrie. Nejsou nutně zrcadlově symetrické; např. GP(5,3) a GP(3,5) jsou enantiomorfy navzájem. Goldbergův mnohostěn je a duální mnohostěn a geodetická sféra.

Důsledek Eulerův mnohostěnný vzorec je to, že Goldbergův mnohostěn má vždy přesně dvanáct pětiúhelníkových ploch. Ikosahedrická symetrie zajišťuje, že pětiúhelníky jsou vždy pravidelný a že je jich vždy 12. Pokud vrcholy nejsou omezeny na kouli, může být mnohostěn sestaven s rovinnými rovnostrannými (ale ne obecně rovnostrannými) plochami.

Mezi jednoduché příklady Goldbergovy mnohostěny patří dvanáctistěn a zkrácený dvacetistěn. Jiné formy lze popsat pomocí a šachy rytíř přesuňte se z jednoho pětiúhelníku do druhého: nejprve vezměte m kroky v jednom směru, poté otočte o 60 ° doleva a jeďte n kroky. Takový mnohostěn je označen GP(m,n). Dvanáctistěn je GP(1,0) a zkrácený dvacetistěn je GP(1,1).

Podobnou techniku lze použít ke konstrukci mnohostěnů s čtyřboká symetrie a oktaedrická symetrie. Tyto mnohostěny budou mít spíše trojúhelníky nebo čtverce než pětiúhelníky. Tyto variace jsou uvedeny dolní římské číselné indexy označující počet stran na non-šestiúhelník tváří: GP_III(n, m), GP_IV(n, m) a GP_PROTI(n, m).

Elementy

Počet vrcholů, hran a ploch GP(m,n) lze vypočítat z m a n, s T = m² + mn + n² = (m + n)² − mn, v závislosti na jednom ze tří symetrických systémů:^[1] Počet nehexagonálních ploch lze určit pomocí Eulerovy charakteristiky, jak je ukázáno tady.

Symetrie	Icosahedral	Osmistěn	Čtyřboká
Základna	Dodecahedron GP_PROTI(1,0) = {5+,3}_1,0	Krychle GP_IV(1,0) = {4+,3}_1,0	Čtyřstěn GP_III(1,0) = {3+,3}_1,0
obraz
Symbol	GP_PROTI(m, n) = {5 +, 3}_{m, n}	GP_IV(m, n) = {4 +, 3}_{m, n}	GP_III(m, n) = {3 +, 3}_{m, n}
Vrcholy	${ displaystyle 20T}$	${ displaystyle 8T}$	${ displaystyle 4T}$
Hrany	${ displaystyle 30T}$	${ displaystyle 12T}$	${ displaystyle 6T}$
Tváře	${ displaystyle 10T + 2}$	${ displaystyle 4T + 2}$	${ displaystyle 2T + 2}$
Tváře podle typu	12 {5} a 10 (T − 1) {6}	6 {4} a 4 (T − 1) {6}	4 {3} a 2 (T − 1) {6}

Konstrukce

Většinu Goldbergových mnohostěn lze postavit pomocí Conwayova mnohostěnová notace počínaje semeny (T) etrahedron, (C) ube a (D) odecahedron. The zkosení operátor, C, nahradí všechny hrany šestiúhelníky, transformuje se GP(m,n) až GP(2m,2n), s T multiplikátor 4. The zkrácený kis operátor, y = tk, generuje GP(3,0), transformace GP(m,n) až GP(3m,3n), s T multiplikátor 9.

U formulářů třídy 2 se duální kis operátor, z = dk, transformuje GP(A, 0) do GP(A,A), s T multiplikátor 3. Pro formuláře třídy 3 je vír operátor, w, generuje GP(2,1), s a T multiplikátor 7. Generátor víření ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček, ww = wrw generuje GP(7,0) ve třídě 1. Obecně může vír transformovat GP (A,b) do GP (A + 3b,2ab) pro A > b a stejným chirálním směrem. Pokud jsou chirální směry obráceny, GP (A,b) se stává GP (2A + 3b,A − 2b) pokud A ≥ 2ba GP (3A + b,2b − A) pokud A < 2b.

Příklady

Mnohostěn I. třídy
Frekvence	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(m,0)
T	1	4	9	16	25	36	49	64	m²
Icosahedral (Goldberg)									více
Osmistěn									více
Čtyřboká									více

Mnohostěn třídy II
Frekvence	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(m,m)
T	3	12	27	48	75	108	147	192	3m²
Icosahedral (Goldberg)									více
Osmistěn									více
Čtyřboká									více

Mnohostěn třídy III
Frekvence	(1,2)	(1,3)	(2,3)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(1,5)	(m,n)
T	7	13	19	21	28	37	31	m²+mn+n²
Icosahedral (Goldberg)								více
Osmistěn								více
Čtyřboká								více

Viz také

Poznámky

^ Clintonova domněnka rovného středního úhlu, JOSEPH D. CLINTON

Reference

Goldberg, Michael (1937). „Třída vícesymetrických mnohostěnů“. Matematický deník Tohoku.
Joseph D. Clinton, Clintonova domněnka rovného středního úhlu
Hart, Georgi (2012). „Goldbergova mnohostěna“. v Senechal, Marjorie (vyd.). Tvarování prostoru (2. vyd.). Springer. 125–138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. [1]
Hart, Georgi (18. června 2013). „Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra“. Simons Science News.
Schein, S .; Gayed, J. M. (2014-02-25). "Čtvrtá třída konvexních rovnostranných mnohostěnů s mnohostěnnou symetrií souvisejících s fullereny a viry". Sborník Národní akademie věd. 111 (8): 2920–2925. doi:10.1073 / pnas.1310939111. ISSN 0027-8424. PMC 3939887. PMID 24516137.

externí odkazy

Dual Geodesic Icosahedra
Varianty Goldberg: Nové tvary pro molekulární klece Ploché šestiúhelníky a pětiúhelníky se spojují v nové linii na staré mnohostěně, autor: Dana Mackenzie, 14. února 2014

[1] Clintonova domněnka rovného středního úhlu, JOSEPH D. CLINTON

[1]