Bimodul - Bimodule
v abstraktní algebra, a bimodul je abelianská skupina to je levice i pravice modul, takže jsou kompatibilní levé a pravé násobení. Kromě toho, že se bimoduly přirozeně objevují v mnoha částech matematiky, hrají objasňující roli v tom smyslu, že mnoho vztahů mezi levým a pravým modulem se zjednodušuje, když jsou vyjádřeny v pojmech bimodul.
Definice
Li R a S jsou dva prsteny, pak R-S-bimodul je abelianská skupina takové, že:
- M je levice R- modul a právo S-modul.
- Pro všechny r v R, s v S a m v M:
An R-R-bimodul je také známý jako R-bimodul.
Příklady
- Pro kladná celá čísla n a m, sada Mn,m(R) z n × m matice z reálná čísla je R-S-bimodul, kde R je prsten Mn(R) z n × n matice a S je prsten Mm(R) z m × m matice. Sčítání a množení se provádí pomocí obvyklých pravidel přidání matice a násobení matic; výšky a šířky matic byly zvoleny tak, aby bylo definováno násobení. Všimněte si, že Mn,m(R) sám o sobě není prsten (pokud n = m), protože násobení n × m matice jiným n × m matice není definována. Rozhodující bimodulová vlastnost, to (rx)s = r(xs), je tvrzení, že násobení matic je asociativní.
- Li R je tedy prsten R sám o sobě lze považovat za R-R-bimodul tím, že se levé a pravé akce budou množit - akce dojíždí asociativitou. To lze rozšířit na Rn (dále jen n-složit přímý produkt z R).
- Jakýkoli oboustranný ideál prstenu R je R-R-bimodul.
- Libovolný modul přes a komutativní prsten R je automaticky bimodul. Například pokud M je levý modul, můžeme definovat násobení vpravo, aby bylo stejné jako násobení vlevo. (Nicméně ne všechny R-bimoduly vznikají tímto způsobem.)
- Li M je levice R- tedy modul M je R-Z-bimodul, kde Z je prsten z celá čísla. Podobně správně R-moduly lze interpretovat jako Z-R-bimodules, a opravdu abelian skupina může být považována za Z-Z-bimodul.
- Li R je podřízený z S, pak S je R-R-bimodul. Je to také R-S- a S-R-bimodul.
- Li M je S-R-bimodul a N je R-T-bimodul, tedy je S-T-bimodul.
Další pojmy a fakta
Li M a N jsou R-S-bimodules, pak mapa F : M → N je bimodulový homomorfismus pokud je to jak homomorfismus levice R-modulů a vpravo S- moduly.
An R-S-bimodule je vlastně to samé jako levý modul přes kruh , kde je naproti prsten z S (s otočením násobení). Bimodulové homomorfismy jsou stejné jako homomorfismy levé moduly. Pomocí těchto faktů lze mnoho definic a tvrzení o modulech okamžitě přeložit do definic a tvrzení o bimodulech. Například kategorie ze všech R-S-bimodules je abelian a standard věty o izomorfismu platí pro bimoduly.
Ve světě bimodulů však existují některé nové efekty, zejména pokud jde o tenzorový produkt: pokud M je R-S-bimodul a N je S-T-bimodul, pak tenzorový součin M a N (převzal prsten S) je R-T-bimodul přirozeným způsobem. Tento tenzorový produkt bimodulů je asociativní (až do jedinečný kanonický izomorfismus), a lze tedy zkonstruovat kategorii, jejíž objekty jsou prsteny a jejichž morfismy jsou bimoduly. Toto je ve skutečnosti a 2-kategorie, kanonickým způsobem - 2 morfismy mezi R-S-bimoduly M a N jsou přesně bimodulové homomorfismy, tj. funkce
uspokojující
- ,
pro m ∈ M, r ∈ R, a s ∈ S. Jeden okamžitě ověří zákon výměny pro bimodulové homomorfismy, tj.
platí, kdykoli je definována jedna (a tedy i druhá) strana rovnice a kde ∘ je obvyklé složení homomorfismů. V této interpretaci kategorie Konec(R) = Bimod(R, R) je přesně to monoidní kategorie z R-R-bimoduly s obvyklými tenzorový produkt nad R tenzorový produkt kategorie. Zejména pokud R je komutativní prsten, každý vlevo nebo vpravo R-module je kanonicky R-R-bimodul, který dává monoidní vložení kategorie R-Mod do Bimod(R, R). Případ, že R je pole K. je motivujícím příkladem symetrické monoidní kategorie, v takovém případě R-Mod = K.-Vect, kategorie vektorových prostorů přes K., s obvyklým tenzorovým produktem dává monoidní strukturu a s jednotkou K.. Vidíme také, že a monoidní v Bimod(R, R) je přesně R-algebra. Viz (Street 2003).[1]Kromě toho, pokud M je R-S-bimodul a L je T-S-bimodul, pak soubor HomS(M, L) ze všech S- homomorfismy modulů z M na L se stává T-R-modul přirozeným způsobem. Tato prohlášení se vztahují na odvozené funktory Ext a Tor.
Profesoři lze chápat jako kategorické zobecnění bimodulů.
Všimněte si, že bimoduly vůbec nesouvisí s bialgebry.
Viz také
Reference
- ^ Street, Ross (20. března 2003). "Kategorické a kombinatorické aspekty teorie sestupu". arXiv:matematika / 0303175.
- Jacobson, N. (1989). Základní algebra II. W. H. Freeman and Company. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9.