Vyvolané zastoupení - Induced representation

v teorie skupin, indukovaná reprezentace je zastoupení skupiny, $G$ , který je konstruován pomocí známého znázornění a podskupina $H$ . Vzhledem k zastoupení $H$ , indukovaná reprezentace je v jistém smyslu „nejobecnější“ reprezentací $G$ který danou rozšiřuje. Protože je často snazší najít zastoupení menší skupiny $H$ než z $G$ , operace vytváření indukovaných reprezentací je důležitým nástrojem pro konstrukci nových reprezentací.

Vyvolané reprezentace byly původně definovány Frobenius, pro lineární reprezentace z konečné skupiny. Myšlenka se v žádném případě neomezuje na případ konečných skupin, ale teorie v tomto případě je obzvláště dobře vychovaná.

Stavby

Algebraický

Nechat $G$ být konečnou skupinou a $H$ libovolná podskupina $G$ . Dále nechť $(π, PROTI)$ být reprezentací $H$ . Nechat $n = [G : H]$ být index z $H$ v $G$ a nechte $G 1, ..., G n$ být úplnou sadou zástupců v $G$ z levé kosety v $G / H$ . Indukovaná reprezentace $Ind G H π$ lze považovat za působící v následujícím prostoru:

{ displaystyle W = bigoplus _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} V.}

Tady každý $G i PROTI$ je izomorfní kopie vektorového prostoru PROTI jehož prvky jsou psány jako $G i proti$ s $proti \in PROTI$ . Pro každého G v $G$ a každý G_i tady je h_i v $H$ a j(i) v 1, ..., n} takové $G G i = G j (i) h i$ . (To je jen další způsob, jak to říct $G 1, ..., G n$ je úplná sada zástupců.) Prostřednictvím indukovaného zastoupení $G$ jedná $Ž$ jak následuje:

{ displaystyle g cdot sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} v_ {i} = součet _ {i = 1} ^ {n} g_ {j (i)} pi (h_ {i}) v_ {i}}

kde ${ displaystyle v_ {i} ve V}$ pro každého i.

Alternativně lze vytvořit indukované reprezentace pomocí tenzorový produkt: jakýkoli K-lineární reprezentace ${ displaystyle pi}$ skupiny H lze zobrazit jako modul PROTI přes skupinové vyzvánění K.[H]. Poté můžeme definovat

{ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} pi = K [G] otimes _ {K [H]} V.}

Tento druhý vzorec lze také použít k definování $Ind G H π$ pro jakoukoli skupinu $G$ a podskupina $H$ , bez požadavku na konečnost.^[1]

Příklady

Pro každou skupinu je indukovaná reprezentace triviální zastoupení z triviální podskupina má pravdu pravidelné zastoupení. Obecněji indukované zastoupení triviální zastoupení jakékoli podskupiny je permutační zastoupení na kosetech této podskupiny.

Indukovaná reprezentace jednorozměrné reprezentace se nazývá a monomiální reprezentace, protože to může být reprezentováno jako monomiální matice. Některé skupiny mají tu vlastnost, že všechny jejich neredukovatelné reprezentace jsou monomiální, tzv monomiální skupiny.

Vlastnosti

Li $H$ je podskupinou skupiny $G$ , pak každý $K.$ -lineární reprezentace $ρ$ z $G$ lze zobrazit jako $K.$ -lineární reprezentace $H$ ; toto je známé jako omezení z $ρ$ na $H$ a označeno $Res (ρ)$ . V případě konečných skupin a konečně-dimenzionálních reprezentací je Frobeniova věta o vzájemnosti uvádí, že vzhledem k reprezentacím $σ$ z $H$ a $ρ$ z $G$ , prostor $H$ -ekvivariant lineární mapy z $σ$ na $Res (ρ)$ má stejnou dimenzi K. jako to $G$ - ekvivariantní lineární mapy z $Ind (σ)$ na $ρ$ .^[2]

The univerzální vlastnictví indukované reprezentace, která je platná i pro nekonečné skupiny, je ekvivalentní s adjunkcí uplatněnou v teorému o vzájemnosti. Li ${ displaystyle ( sigma, V)}$ je reprezentace H a ${ displaystyle ( operatorname {Ind} ( sigma), { hat {V}})}$ je reprezentace G vyvolané ${ displaystyle sigma}$ , pak existuje a $H$ ekvivariantní lineární mapa ${ displaystyle j: V až { hat {V}}}$ s následující vlastností: vzhledem k libovolnému zastoupení $(ρ, Ž)$ z $G$ a $H$ ekvivariantní lineární mapa ${ displaystyle f: V až W}$ existuje jedinečný $G$ ekvivariantní lineární mapa ${ displaystyle { hat {f}}: { hat {V}} na W}$ s ${ displaystyle { hat {f}} j = f}$ . Jinými slovy, ${ displaystyle { hat {f}}}$ je jedinečná mapa, která vytváří následující schéma dojíždění:^[3]

The Frobeniův vzorec uvádí, že pokud $χ$ je charakter reprezentace $σ$ , dána $χ (h) = Tr σ (h)$ , pak znak $ψ$ indukovaného vyjádření je dáno vztahem

{ displaystyle psi (g) = součet _ {x v G / H} { widehat { chi}} vlevo (x ^ {- 1} gx vpravo),}

kde součet je převzat systém zástupců levých kosetů $H$ v $G$ a

{ displaystyle { widehat { chi}} (k) = { begin {cases} chi (k) & { text {if}} k v H 0 & { text {jinak}} end {případy}}}

Analytický

Li $G$ je místně kompaktní topologická skupina (možná nekonečný) a $H$ je Zavřeno podskupina pak existuje společná analytická konstrukce indukované reprezentace. Nechat $(π, PROTI)$ být kontinuální jednotkové zastoupení $H$ do Hilbertův prostor PROTI. Poté můžeme nechat:

{ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} pi = vlevo { phi tlustého střeva G až V : phi (gh ^ {- 1}) = pi (h) phi (g) { text {pro všechny}} h v H, ; g v G { text {a}} phi v L ^ {2} (G / H) vpravo } .}

Tady $φ\in L 2 (G / H)$ znamená: prostor G/H nese vhodnou invariantní míru a od normy $φ (G)$ je konstantní na každém levém korzetu H, můžeme integrovat druhou mocninu těchto norem G/H a získáte konečný výsledek. Skupina $G$ působí na indukovaný reprezentační prostor překladem, tj. $(G .φ) (X) = φ (G -1 X)$ pro g, x∈G a $φ\inInd G H π$ .

Tato konstrukce je často upravována různými způsoby tak, aby vyhovovala potřebným aplikacím. Běžná verze se nazývá normalizovaná indukce a obvykle používá stejnou notaci. Definice reprezentačního prostoru je následující:

{ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} pi = vlevo { phi dvojtečka G až V : phi (gh ^ {- 1}) = Delta _ {G } ^ {- { frac {1} {2}}} (h) Delta _ {H} ^ { frac {1} {2}} (h) pi (h) phi (g) { text {and}} phi in L ^ {2} (G / H) right }.}

Tady $Δ G, Δ H$ jsou modulární funkce z $G$ a $H$ resp. S přidáním normalizace ovlivňuje tuto indukci funktor bere unitární reprezentace do jednotných reprezentací.

Jedna další variace indukce se nazývá kompaktní indukce. Toto je pouze standardní indukce omezená na funkce s kompaktní podpora. Formálně je označen ind a definován jako:

{ displaystyle operatorname {ind} _ {H} ^ {G} pi = vlevo { phi tlustého střeva G až V : phi (gh ^ {- 1}) = pi (h) phi (g) { text {a}} phi { text {má kompaktní režim podpory}} H right }.}

Všimněte si, že pokud $G / H$ je kompaktní, pak Ind a ind jsou stejný funktor.

Geometrický

Předpokládat $G$ je topologická skupina a $H$ je Zavřeno podskupina z $G$ . Také předpokládejme $π$ je reprezentace $H$ nad vektorovým prostorem $PROTI$ . Pak $G$ činy na výrobku $G \times PROTI$ jak následuje:

{ displaystyle g. (g ', x) = (gg', x)}

kde $G$ a $G'$ jsou prvky $G$ a $X$ je prvek $PROTI$ .

Definovat na $G \times PROTI$ the vztah ekvivalence

{ displaystyle (g, x) sim (gh, pi (h ^ {- 1}) (x)) { text {pro všechny}} h v H.}

Označte třídu ekvivalence ${ displaystyle (g, x)}$ podle ${ displaystyle [g, x]}$ . Všimněte si, že tento vztah ekvivalence je neměnný při působení $G$ ; tudíž, $G$ jedná $(G \times PROTI)/~$ . Ten druhý je a vektorový svazek přes kvocientový prostor $G / H$ s $H$ jako strukturní skupina a $PROTI$ jako vlákno. Nechat $Ž$ být prostorem sekcí ${ Displaystyle phi: G / H to (G krát V) / ! sim}$ tohoto vektorového svazku. Toto je vektorový prostor pod indukovanou reprezentací $Ind G H π$ . Skupina $G$ působí na sekci ${ displaystyle phi: G / H až { mathcal {L}} _ {W}}$ dána ${ displaystyle gH mapsto [g, phi _ {g}]}$ jak následuje:

{ displaystyle (g cdot phi) (g'H) = [g ', phi _ {g ^ {- 1} g'}] { text {pro}} g, g ' v G. }

Systémy imprimitivity

V případě unitární reprezentace z lokálně kompaktních skupin lze indukční konstrukci formulovat z hlediska systémy imprimitivity.

Teorie lži

v Teorie lži, mimořádně důležitým příkladem je parabolická indukce: vyvolání reprezentací a reduktivní skupina ze zastoupení jeho parabolické podskupiny. To vede přes filozofie hrotových forem, do Langlandsův program.

Viz také

Poznámky

^ Brown, Kohomologie skupin, III.5
^ Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Lineární reprezentace konečných skupin. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385.
^ Thm. 2.1 z Miller, Alison. „Math 221: Algebra notes 20. listopadu“. Archivováno od originálu dne 2018-08-01. Citováno 2018-08-01.

Reference

Alperin, J. L.; Rowen B. Bell (1995). Skupiny a zastoupení. Springer-Verlag. str.164 –177. ISBN 0-387-94526-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Folland, G. B. (1995). Kurz abstraktní harmonické analýzy. CRC Press. str.151 –200. ISBN 0-8493-8490-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Kaniuth, E .; Taylor, K. (2013). Indukovaná reprezentace lokálně kompaktních skupin. Cambridge University Press. ISBN 9780521762267.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Mackey, G. W. (1951), „O indukovaných reprezentacích skupin“, American Journal of Mathematics, 73 (3): 576–592, doi:10.2307/2372309, JSTOR 2372309
Mackey, G. W. (1952), „Indukované reprezentace lokálně kompaktních skupin I“, Annals of Mathematics, 55 (1): 101–139, doi:10.2307/1969423, JSTOR 1969423
Mackey, G. W. (1953), „Indukované reprezentace lokálně kompaktních skupin II: Frobeniova věta o vzájemnosti“, Annals of Mathematics, 58 (2): 193–220, doi:10.2307/1969786, JSTOR 1969786

[1] Brown, Kohomologie skupin, III.5

[2] Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Lineární reprezentace konečných skupin. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385.

[3] Thm. 2.1 z Miller, Alison. „Math 221: Algebra notes 20. listopadu“. Archivováno od originálu dne 2018-08-01. Citováno 2018-08-01.

[1]

[2]

[3]