Galoisovo rozšíření - Galois extension

v matematika, a Galoisovo rozšíření je algebraický rozšíření pole E/F to je normální a oddělitelný; nebo ekvivalentně E/F je algebraické a pole opraveno podle automorfická skupina Aut (E/F) je přesně základna pole F. Význam bytí rozšíření Galois je, že rozšíření má Galoisova skupina a poslouchá základní věta o Galoisově teorii. ^[1]

Výsledek Emil Artin umožňuje jednomu konstruovat rozšíření Galois následovně: If E je dané pole a G je konečná skupina automorfismů E s pevným polem F, pak E/F je rozšíření Galois.

Charakterizace rozšíření Galois

Důležitá věta o Emil Artin uvádí, že pro a konečné prodloužení ${ displaystyle E / F,}$ každý z následujících výroků je ekvivalentní výroku, který ${ displaystyle E / F}$ je Galois:

• ${ displaystyle E / F}$ je normální rozšíření a a oddělitelný nástavec.
• ${ displaystyle E}$ je rozdělení pole a oddělitelný polynom s koeficienty v ${ displaystyle F.}$
• ${ displaystyle | ! operatorname {Aut} (E / F) | = [E: F],}$ to znamená, že počet automorfismů se rovná stupeň rozšíření.

Další ekvivalentní prohlášení jsou:

• Každý neredukovatelný polynom v ${ displaystyle F [x]}$ s alespoň jedním kořenem v ${ displaystyle E}$ rozdělí se ${ displaystyle E}$ a je oddělitelný.
• ${ displaystyle | ! operatorname {Aut} (E / F) | geq [E: F],}$ to znamená, že počet automorfismů je alespoň mírou rozšíření.
• ${ displaystyle F}$ je pevné pole podskupiny ${ displaystyle operatorname {Aut} (E).}$
• ${ displaystyle F}$ je pevné pole ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F).}$
• Existuje jedna ku jedné korespondence mezi podpolemi ${ displaystyle E / F}$ a podskupiny ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F).}$

Příklady

Existují dva základní způsoby, jak vytvořit příklady rozšíření Galois.

• Vezměte jakékoli pole ${ displaystyle E}$, libovolná podskupina ${ displaystyle operatorname {Aut} (E)}$a nechte ${ displaystyle F}$ být pevné pole.
• Vezměte jakékoli pole ${ displaystyle F}$, jakýkoli oddělitelný polynom v ${ displaystyle F [x]}$a nechte ${ displaystyle E}$ být jeho rozdělení pole.

Sousedící do pole racionálního čísla the druhá odmocnina ze 2 dává příponu Galois, zatímco sousední kubický kořen 2 dává příponu non-Galois. Obě tato rozšíření jsou oddělitelná, protože mají charakteristická nula. První z nich je dělící pole ${ displaystyle x ^ {2} -2}$; druhý má normální uzavření který zahrnuje komplex kubické kořeny jednoty a nejedná se o dělící pole. Ve skutečnosti nemá žádný jiný autorfismus než identitu, protože je obsažen v reálných číslech a ${ displaystyle x ^ {3} -2}$ má jen jeden skutečný kořen. Podrobnější příklady najdete na stránce na webu základní věta o Galoisově teorii.

An algebraické uzavření ${ displaystyle { bar {K}}}$ libovolného pole ${ displaystyle K}$ je Galois u konce ${ displaystyle K}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle K}$ je perfektní pole.

Reference

Viz také

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galoisova teorie. Upraveno a s doplňkovou kapitolou Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  0-486-62342-4. PAN  1616156.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galoisova teorie pro začátečníky. Matematická knihovna studenta. 35. Přeložil z druhého německého (2004) vydání David Kramer. Americká matematická společnost. doi:10.1090 / stml / 035. ISBN  0-8218-3817-2. PAN  2251389.
• Edwards, Harold M. (1984). Galoisova teorie. Postgraduální texty z matematiky. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90980-X. PAN  0743418. (Galoisův původní papír s rozsáhlými pozadími a komentáři.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). Msgstr "Krátký popis historie symetrických funkcí kořenů rovnic". Americký matematický měsíčník. The American Mathematical Monthly, sv. 37, č. 7. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR  2299273.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• „Galoisova teorie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (1985). Základní algebra I (2. vyd.). W.H. Freeman a společnost. ISBN  0-7167-1480-9. (Kapitola 4 uvádí úvod do teoreticko-teoretického přístupu k Galoisově teorii.)
• Janelidze, G .; Borceux, Francis (2001). Galoisovy teorie. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-80309-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (Tato kniha seznamuje čtenáře s Galoisovou teorií Grothendieck, a některá zevšeobecňování, vedoucí k Galois grupoidy.)
• Lang, Serge (1994). Algebraická teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 110 (Druhé vydání.). Berlín, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN  978-0-387-94225-4. PAN  1282723.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Postnikov, Michail Mikhalovič (2004). Základy teorie Galois. S předmluvou P. J. Hiltona. Dotisk vydání z roku 1962. Překlad z ruského originálu z roku 1960 Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN  0-486-43518-0. PAN  2043554.
• Rotman, Joseph (1998). Galoisova teorie (Druhé vydání.). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN  0-387-98541-7. PAN  1645586.
• Völklein, Helmut (1996). Skupiny jako skupiny Galois: úvod. Cambridge studia pokročilé matematiky. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511471117. ISBN  978-0-521-56280-5. PAN  1405612.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (v němčině). Berlín: Springer.CS1 maint: ref = harv (odkaz). anglický překlad (2. přepracovaného vydání): Moderní algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Později znovu publikován v angličtině Springerem pod názvem „Algebra“.)
• Pop, Florian (2001). „(Některé) nové trendy v teorii a aritmetice galois“ (PDF).CS1 maint: ref = harv (odkaz)