v matematika, (polní) norma je konkrétní mapování definované v teorie pole, který mapuje prvky většího pole do podpole.
Formální definice
Nechat K. být pole a L konečný rozšíření (a tudíž algebraické rozšíření ) z K..
Pole L je pak konečný rozměr vektorový prostor přes K..
Násobení α, prvkem L,

,
je K.-lineární transformace z toho vektorový prostor do sebe.
The norma, NL/K.(α), je definován jako určující z toho lineární transformace.[1]
Li L/K. je Galoisovo rozšíření, lze vypočítat normu α ∈ L jako produkt všech Galoisovy konjugáty α:

kde Gal (L/K.) označuje Galoisova skupina z L/K..[2] (Upozorňujeme, že se podmínky produktu mohou opakovat.)
Pro generála rozšíření pole L/K.a nenulové α v L,
nechat σ1(α), ..., σn(α) být kořeny minimální polynom α nad K. (kořeny uvedené s multiplicitou a ležící v nějakém rozšiřujícím poli L); pak
.
Li L/K. je oddělitelný, pak se každý kořen v produktu objeví pouze jednou (ačkoli exponent, stupeň [L:K.(α)], může být stále větší než 1).
Příklady
Kvadratická rozšíření pole
Jeden ze základních příkladů norem pochází kvadratické pole rozšíření
kde
je celé číslo bez čtverců.
Poté, mapa násobení podle
na prvku
je

Prvek
může být reprezentován vektorem

protože existuje přímý rozklad součtu
jako
-vektorový prostor.
The matice z
je tedy

a norma je
, protože se jedná o určující z toho matice.
Norma Q (√2)
V tomto příkladu byla normou čtverec obvyklá euklidovská norma vzdálenosti v
.
Obecně se polní norma velmi liší od normy obvyklá norma vzdálenosti.
Ilustrujeme to na příkladu, kde norma pole může být záporná.
Zvažte pole s číslem
.
The Galoisova skupina z
přes
má pořádek
a je generován prvkem, který odesílá
na
.
Norma tedy
je:

Polní normu lze také získat bez Galoisova skupina.
Opravit a
-základ
, řekněme:
.
Pak vynásobení číslem
posílá
- 1 až
a
na
.
Takže určující z "vynásobením
" je určující z matice který posílá vektor
(odpovídá prvnímu základnímu prvku, tj. 1) až
,
(odpovídá druhému základnímu prvku, tj.
) až
,
viz .:

The určující z toho matice je -1.
K.- rozšíření kořenového pole
Další snadná třída příkladů pochází z rozšíření pole formuláře
kde hlavní faktorizace
obsahuje č
-té pravomoci.
Mapa násobení podle
prvku je
![{ displaystyle { begin {aligned} m _ { sqrt [{p}] {a}} (x) & = { sqrt [{p}] {a}} cdot (a_ {1} + a_ {2 } { sqrt [{p}] {a}} + a_ {3} { sqrt [{p}] {a ^ {2}}} + cdots + a_ {p-1} { sqrt [{p }] {a ^ {p-1}}}) & = a_ {1} { sqrt [{p}] {a}} + a_ {2} { sqrt [{p}] {a ^ { 2}}} + a_ {3} { sqrt [{p}] {a ^ {3}}} + cdots + a_ {p-1} a end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e0a4226076a2e5d92317f33351057853c114bd)
dávat matice

The určující dává normu
![{ displaystyle N _ { mathbb {Q} ({ sqrt [{p}] {a}}) / mathbb {Q}} ({ sqrt [{p}] {a}}) = (- 1) ^ {p-1} a = a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee32203de52e3ba8884cf77c366fbb8aebe53a37)
Komplexní čísla nad reálemi
Polní norma z komplexní čísla do reálná čísla posílá
- X + iy
na
- X2 + y2,
protože Galoisova skupina z
přes
má dva prvky,
- prvek identity a
- komplexní konjugace,
a získání výnosů produktu (X + iy)(X − iy) = X2 + y2.
Konečná pole
Nechat L = GF (qn) být konečný rozšíření a konečné pole K. = GF (q).
Od té doby L/K. je Galoisovo rozšíření, pokud je α v L, pak norma α je produktem všeho Galoisovy konjugáty α, tj.[3]

V tomto nastavení máme další vlastnosti,[4]


Vlastnosti normy
Pro každou konečnou příponu platí několik vlastností funkce norm.[5][6]
Skupinový homomorfismus
Norma NL/K. : L* → K.* je skupinový homomorfismus z multiplikativní skupiny L do multiplikativní skupiny K., to je

Kromě toho, pokud A v K.:
![{ displaystyle operatorname {N} _ {L / K} (a alpha) = a ^ {[L: K]} operatorname {N} _ {L / K} ( alpha) { text {pro všechny }} alfa v L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3ce405dd38377d155f6a41235dfa929ece66c8)
Li A ∈ K. pak ![operatorname {N} _ {{L / K}} (a) = a ^ {{[L: K]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c463368179b2ca3bb4b8c8e1055e4926e8a33e3b)
Složení s rozšířeními pole
Norma se navíc chová dobře věže polí:
-li M je konečné rozšíření L, pak norma z M na K. je jen složení normy z M na L s normou z L na K., tj.

Snížení normy
Norma prvku v libovolném rozšíření pole lze snížit na snazší výpočet, pokud je stupeň rozšíření pole je již známa. Tohle je
[6]
Například pro
v rozšíření pole
, norma
je
![{ displaystyle { begin {aligned} N _ { mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, zeta _ {3}) / mathbb {Q}} ({ sqrt {2}}) & = N _ { mathbb {Q} ({ sqrt {2}}) / mathbb {Q}} ({ sqrt {2}}) ^ {[ mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, zeta _ {3}): mathbb {Q} ({ sqrt {2}})]} & = (- 2) ^ {2} & = 4 end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be2c15698576800c264786352ae26f3acd49b2e)
od stupně rozšíření pole
je
.
Detekce jednotek
Prvek
je jednotka právě tehdy
.
Například

kde
.
Pak libovolné číselné pole
obsahující
má to jako jednotku.
Další vlastnosti
Norma algebraické celé číslo je opět celé číslo, protože se rovná (až do znaménka) konstantnímu členu charakteristického polynomu.
v algebraická teorie čísel definuje také normy pro ideály.
To se děje takovým způsobem, že pokud Já je nenulový ideál ÓK., kruh celých čísel z pole s číslem K., N(Já) je počet tříd reziduí v
- tj. Mohutnost tohoto konečný prsten.
Proto toto ideální norma je vždy kladné celé číslo.
Když Já je hlavní ideál αÓK. pak N(Já) se rovná absolutní hodnota normy Q α, pro α an algebraické celé číslo.
Viz také
Poznámky
Reference
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Konečná poleEncyklopedie matematiky a její aplikace, 20 (Druhé vydání), Cambridge University Press, ISBN 0-521-39231-4, Zbl 0866.11069
- Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Příručka konečných polí, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
- Roman, Steven (2006), Teorie pole, Postgraduální texty z matematiky, 158 (Druhé vydání), Springer, Kapitola 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl 1172.12001
- Rotman, Joseph J. (2002), Pokročilá moderní algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7