Homomorfismus modulu - Module homomorphism
v algebra, a homomorfismus modulu je funkce mezi moduly který zachovává modulové struktury. Výslovně, pokud M a N jsou ponechány moduly nad a prsten R, pak funkce se nazývá R-homomorfismus modulu nebo R-lineární mapa pokud pro nějaké X, y v M a r v R,
Jinými slovy, F je skupinový homomorfismus (pro základní skupiny aditiv), které dojíždějí se skalárním násobením. Li M, N mají pravdu R-modulů, pak je druhá podmínka nahrazena
The preimage nulového prvku pod F se nazývá jádro z F. The soubor všech modulů homomorfismů z M na N je označen . Je to abelianská skupina (pod bodovým přidáním), ale nemusí to být nutně modul, pokud R je komutativní.
The složení homomorfismů modulů je opět homomorfismus modulů a mapa identity na modulu je homomorfismus modulů. Takže všechny (řekněme levé) moduly společně se všemi homomorfismy modulů mezi nimi tvoří kategorie modulů.
Terminologie
Homomorfismus modulu se nazývá a modul izomorfismus pokud připouští inverzní homomorfismus; je to zejména a bijekce. Naopak, lze ukázat bijektivní modul, homomorfismus je izomorfismus; tj. inverzní je homomorfismus modulu. Zejména modul homomorfismus je izomorfismus právě tehdy, pokud se jedná o izomorfismus mezi základními abelianskými skupinami.
The věty o izomorfismu podržte pro homomorfismy modulu.
Homomorfismus modulu z modulu M sama o sobě se nazývá endomorfismus a izomorfismus z M pro sebe a automorfismus. Jeden píše pro množinu všech endomorfismů mezi modulem M. Není to jen abelianská skupina, ale je to také kruh s násobením daným složením funkcí, nazývaný endomorfismus prsten z M. The skupina jednotek tohoto prstenu je automorfická skupina z M.
Schurovo lemma říká, že homomorfismus mezi jednoduché moduly (modul bez netriviálnosti podmoduly ) musí být buď nula, nebo izomorfismus. Zejména prsten endomorfismu jednoduchého modulu je a dělící prsten.
V jazyce teorie kategorií, injekční homomorfismus se také nazývá a monomorfismus a surjektivní homomorfismus an epimorfismus.
Příklady
- The nulová mapa M → N který mapuje každý prvek na nulu.
- A lineární transformace mezi vektorové prostory.
- .
- Pro komutativní prsten R a ideály Já, J, je zde kanonická identifikace
- dána . Zejména, je zničit z Já.
- Dostal prsten R a prvek r, nechť označte levé násobení r. Pak pro všechny s, t v R,
- .
- To znamená, je že jo R-lineární.
- Pro jakýkoli prsten R,
- jako prsteny, když R je považován za pravý modul nad sebou. Výslovně je tento izomorfismus dán vztahem vlevo pravidelné zastoupení .
- Podobně, jako prsteny, když R je považován za levý modul nad sebou. Učebnice nebo jiné odkazy obvykle určují, která konvence se použije.
- přes pro libovolný levý modul M.[1] (Struktura modulu na Hom zde pochází zprava R-akce zapnuta R; vidět #Modulové struktury na Hom níže.)
- se nazývá duální modul z M; je to levý (resp. pravý) modul, pokud M je pravý (resp. levý) modul R se strukturou modulu pocházející z R-akce zapnuta R. Označuje to .
- Vzhledem k prstencovému homomorfismu R → S komutativních prstenů a an S-modul M, an R-lineární mapa θ: S → M se nazývá a derivace pokud pro nějaké F, G v S, θ (f g) = F θ (G) + θ (F) G.
- Li S, T jsou unital asociativní algebry přes prsten R, pak homomorfismus algebry z S na T je kruhový homomorfismus to je také R- homomorfismus modulů.
Modulové struktury na Hom
Stručně řečeno, Hom zdědí akci prstenu, která nebyla vyčerpaný tvořit Hom. Přesněji řečeno M, N být ponechán R- moduly. Předpokládat M má správnou akci prstenu S který dojíždí s R-akce; tj., M je (R, S)-modul. Pak
má strukturu levice S-modul definovaný: pro s v S a X v M,
Je dobře definovaný (tj. je R-lineární) od
a je prstenová akce od
- .
Poznámka: výše uvedené ověření by „selhalo“, pokud by někdo použil levou R-akce namísto práva S-akce. V tomto smyslu se o Homovi často říká, že „vyčerpá“ R-akce.
Podobně, pokud M je levice R-modul a N je (R, S) -modul, tedy je právo S-modul od .
Maticová reprezentace
Vztah mezi maticemi a lineárními transformacemi v lineární algebra přirozeným způsobem generalizuje homomorfismy modulů mezi volnými moduly. Přesně, právo R-modul U, tam je kanonický izomorfismus abelianských skupin
získané prohlížením skládající se z vektorů sloupců a následného psaní F jako m × n matice. Zejména prohlížení R jako právo R-modul a použití , jeden má
- ,
který se ukazuje jako kruhový izomorfismus (protože složení odpovídá a násobení matic ).
Všimněte si, že výše uvedený izomorfismus je kanonický; není zahrnuta žádná volba. Na druhou stranu, pokud je jednomu dán modul homomorfismus mezi konečnou hodností bezplatné moduly, pak volba uspořádaného základu odpovídá volbě izomorfismu . Výše uvedený postup pak poskytuje maticové vyjádření s ohledem na takové volby základen. U obecnějších modulů může maticová reprezentace buď postrádat jedinečnost, nebo nemusí existovat.
Definování
V praxi se často definuje homomorfismus modulu zadáním jeho hodnot na a generující sada. Přesněji řečeno M a N být ponechán R- moduly. Předpokládejme, že podmnožina S generuje M; tj. existuje surjekce s bezplatným modulem F se základnou indexovanou S a jádro K. (tj. jeden má a prezentace zdarma ). Pak dát modul homomorfismus je poskytnout homomorfismus modulu který zabíjí K. (tj. mapy K. na nulu).
Operace
Li a jsou modulové homomorfismy, pak je jejich přímý součet
a jejich tenzorový produkt je
Nechat být homomorfismus modulu mezi levými moduly. The graf ΓF z F je submodul M ⊕ N dána
- ,
což je obraz homomorfismu modulu M → M ⊕ N, X → (X, F(X)), nazvaný morfismus grafů.
The přemístit z F je
Li F je izomorfismus, pak transpozice inverzní z F se nazývá přísada z F.
Přesné sekvence
Zvažte posloupnost modulních homomorfismů
Taková sekvence se nazývá a řetězový komplex (nebo často jen složité), pokud je každá kompozice nulová; tj., nebo ekvivalentně obraz je obsažen v jádře . (Pokud se čísla zvyšují místo snižují, pak se tomu říká komplex řetězců; např. komplex de Rham.) Řetězový komplex se nazývá přesná sekvence -li . Zvláštní případ přesné sekvence je krátká přesná sekvence:
kde je injekční, jádro je obraz a je surjektivní.
Libovolný modul homomorfismus definuje přesnou sekvenci
kde je jádro , a je cokernel, to je kvocient podle obrazu .
V případě modulů nad a komutativní prsten, posloupnost je přesná právě tehdy, pokud je vůbec přesná maximální ideály; to jsou všechny sekvence
jsou přesné, kde dolní index znamená lokalizace v maximálním ideálu .
Li jsou modulové homomorfismy, pak se říká, že tvoří a vlákno náměstí (nebo čtverec pro stažení), označeno M ×B N, pokud to zapadá do
kde .
Příklad: Let být komutativní prsteny a nechat Já být zničit kvocientu B-modul A/B (což je ideál A). Pak kanonické mapy tvoří čtverec vlákna s
Endomorfismy konečně generovaných modulů
Nechat být endomorfismem mezi konečně generovanými R-moduly pro komutativní kruh R. Pak
- je zabit svým charakteristickým polynomem vzhledem k generátorům M; vidět Nakayamovo lemma # Důkaz.
- Li je surjektivní, pak je injektivní.[2]
Viz také: Herbrandův kvocient (který lze definovat pro jakýkoli endomorfismus s určitými podmínkami konečnosti.)
Varianta: aditivní vztahy
An aditivní vztah z modulu M do modulu N je submodul [3] Jinými slovy je to „mnoho ceněný "homomorfismus definovaný na nějakém submodulu M. Inverzní z F je submodul . Libovolný aditivní vztah F určuje homomorfismus z submodulu M na kvocient N
kde sestává ze všech prvků X v M takový, že (X, y) patří F pro některé y v N.
A přestupek který vychází ze spektrální sekvence, je příkladem aditivní relace.
Viz také
Poznámky
Reference
- Bourbaki, Algebra[úplná citace nutná ]
- S. MacLane, Homologie[úplná citace nutná ]
- H. Matsumura, Komutativní prstencová teorie. Z japonštiny přeložil M. Reid. Druhé vydání. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.