Symetrická funkce - Symmetric function

v matematika, a funkce z n proměnné je symetrický pokud je jeho hodnota stejná bez ohledu na jeho pořadí argumenty. Například pokud ${ displaystyle f = f (x_ {1}, x_ {2})}$ je tedy symetrická funkce ${ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = f (x_ {2}, x_ {1})}$ pro všechny ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ takhle ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ a ${ displaystyle (x_ {2}, x_ {1})}$ jsou v doména z F. Nejčastěji se setkáváme se symetrickými funkcemi polynomiální funkce, které jsou dány symetrické polynomy.

Příbuzný pojem je střídavé polynomy, které mění znaménko při výměně proměnných. Kromě polynomiálních funkcí tenzory které fungují jako funkce několika vektorů, mohou být symetrické a ve skutečnosti symetrický prostor k-tenzory na a vektorový prostor PROTI je izomorfní do prostoru homogenní polynomy stupně k na PROTI. Symetrické funkce by neměly být zaměňovány sudé a liché funkce, které mají jiný druh symetrie.

Symetrizace

Vzhledem k jakékoli funkci F v n proměnné s hodnotami v abelianská skupina, lze symetrickou funkci vytvořit součtem hodnot F přes všechny obměny argumentů. Podobně lze anti-symetrickou funkci zkonstruovat součtem dokonce i obměny a odečtením součtu zvláštní permutace. Tyto operace samozřejmě nejsou invertovatelné a mohly by vést k funkci, která je pro netriviální funkce stejně nulová F. Jediný obecný případ, kdy F lze obnovit, pokud je známa jak jeho symetrizace, tak anti-symetrizace n = 2 a abelianská skupina připouští dělení 2 (inverzní k dvojnásobku); pak F se rovná polovině součtu jeho symetrizace a její anti-symetrizace.

Příklady

Zvažte nemovitý funkce

{ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3})}

Podle definice symetrická funkce s n proměnné má vlastnost, která

{ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}) = f (x_ {2}, x_ {1}, ..., x_ {n}) = f (x_ {3}, x_ {1}, ..., x_ {n}, x_ {n-1})}

atd.

Obecně platí, že funkce zůstává pro všechny stejná permutace jejích proměnných. To znamená, že v tomto případě

{ displaystyle (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) = (x-x_ {2}) (x-x_ {1}) (x-x_ {3 }) = (x-x_ {3}) (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}

a tak dále, pro všechny obměny

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}.}

Zvažte funkci

{ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -r ^ {2}}

Li X a y jsou zaměňovány, funkce se stává

{ displaystyle f (y, x) = y ^ {2} + x ^ {2} -r ^ {2}}

což přináší přesně stejné výsledky jako originál F(X,y).

Zvažte nyní funkci

{ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + od ^ {2} -r ^ {2}}

Li X a y jsou zaměňovány, funkce se stává

{ displaystyle f (y, x) = ay ^ {2} + bx ^ {2} -r ^ {2}.}

Tato funkce samozřejmě není stejná jako původní, pokud A ≠ b, což je nesymetrické.

Aplikace

U-statistiky

v statistika, an n- ukázková statistika (funkce v n proměnné), které získá bootstrapping symetrizace a k-sample statistika, čímž se získá symetrická funkce v n proměnné, se nazývá a U-statistika. Mezi příklady patří průměr vzorku a rozptyl vzorku.

Viz také

Reference

F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symetrické funkce a spojenecké tabulky, Cambridge University Press.
Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symetrické funkce, str. 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4 .