Artin – Reesovo lemma - Artin–Rees lemma
v matematika, Artin – Reesovo lemma je základní výsledek o moduly přes Noetherian ring, spolu s výsledky, jako je Hilbertova věta. Bylo prokázáno v padesátých letech v nezávislých pracích matematici Emil Artin a David Rees;[1][2] zvláštní případ byl znám Oscar Zariski před jejich prací.
Jedním z důsledků lemmatu je Věta o křižovatce Krull. Výsledek se také používá k prokázání vlastnosti přesnosti dokončení (Atiyah a MacDonald 1969 107–109) . Lemma také hraje klíčovou roli při studiu ℓ-adické snopy.
Prohlášení
Nechat Já být ideál v Noetherian ring R; nechat M být definitivně generováno R-modul a nechte N submodul M. Pak existuje celé číslo k ≥ 1 tak, že pro n ≥ k,
Důkaz
Lema okamžitě vyplývá ze skutečnosti, že R je Noetherian, jakmile jsou vytvořeny nezbytné pojmy a notace.[3]
Pro jakýkoli prsten R a ideální Já v R, jsme si stanovili (B Říkáme klesající sekvenci submodulů je Já-filtrace, pokud ; navíc je stabilní, pokud pro dostatečně velké n. Li M dostane Já- filtrace, nastavili jsme ; to je odstupňovaný modul přes .
Teď, pojďme M být R-modul s Já-filtrace konečně vygenerováno R- moduly. Děláme pozorování
- je konečně vygenerovaný modul právě tehdy, když je filtrace Já-stabilní.
Ve skutečnosti, pokud je filtrace Já- tedy stabilní je generován prvním podmínky a tyto podmínky jsou definitivně generovány; tím pádem, je definitivně generován. Naopak, pokud je definitivně generován, řekněme, některými homogenními prvky v pak pro , každý F v lze psát jako
s generátory v . To znamená .
Nyní můžeme prokázat lemma za předpokladu R je Noetherian. Nechat . Pak jsou Já-stabilní filtrace. Pozorováním tedy je definitivně generován . Ale je od té doby noetherovský prsten R je. (Prsten se nazývá Reesova algebra.) Tím pádem, je noetherovský modul a jakýkoli submodul je definitivně generován ; zejména, je definitivně generován, když N je dána indukovaná filtrace; tj., . Pak je indukovaná filtrace Já-stabilní opět pozorováním.
Krullova věta o křižovatce
Kromě použití při dokončení prstenu je typickou aplikací lemmatu důkaz Krullovy věty o průsečíku, který říká: pro správný ideál Já v komutativním netherianském kruhu, který je buď a místní prsten nebo integrální doména. Lematem aplikovaným na křižovatku , shledáváme k takové, že pro ,
Ale pak . Pokud tedy A je místní, podle Nakayamovo lemma. Li A je integrální doména, pak se použije trik determinantů (to je varianta Cayley-Hamiltonova věta a výnosy Nakayamovo lemma ):
- Teorém Nechat u být endomorfismus z A-modul N generováno uživatelem n prvky a Já ideál A takhle . Pak existuje vztah:
V nastavení zde vezměte u být operátorem identity na N; který získá nenulový prvek X v A takhle , což znamená .
U lokálního kruhu i integrální domény nelze „noetherian“ zrušit z předpokladu: u případu lokálního kruhu viz místní prsten # Komutativní případ. V případě integrální domény vezměte být kruh algebraických celých čísel (tj. integrální uzavření v ). Li je hlavním ideálem A, pak máme: pro každé celé číslo . Opravdu, pokud , pak pro nějaké komplexní číslo . Nyní, je integrální konec ; tedy dovnitř a pak dovnitř , prokazující nárok.
Reference
- ^ David Rees (1956). "Dvě klasické věty ideální teorie". Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1): 155–157. Bibcode:1956PCPS ... 52..155R. doi:10.1017 / s0305004100031091. Zde: Lemma 1
- ^ Sharp, R. Y. (2015). „David Rees. 29. května 1918 - 16. srpna 2013“. Biografické monografie členů Královské společnosti. 61: 379–401. doi:10.1098 / rsbm.2015.0010. Tady: Oddíl 7, Lemma 7.2, s.10
- ^ Eisenbud, Lemma 5.1
- Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969). Úvod do komutativní algebry. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii. Postgraduální texty z matematiky. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
Další čtení
- Conrad, Brian; de Jong, Aise Johan (2002). „Aproximace verzí deformací“ (PDF). Journal of Algebra. 255 (2): 489–515. doi:10.1016 / S0021-8693 (02) 00144-8. PAN 1935511. poskytuje poněkud přesnější verzi lemu Artin – Rees.