Torzní podskupina - Torsion subgroup

V teorii abelianské skupiny, torzní podskupina A_T skupiny abelianů A je podskupina z A skládající se ze všech prvků, které mají konečnou hodnotu objednat (dále jen torzní prvky z A^[1]). Abelianská skupina A se nazývá a kroucení (nebo periodicky) skupina, pokud každý prvek A má konečný řád a je volán bez kroucení pokud každý prvek A kromě identita je nekonečného řádu.

Důkaz toho A_T je uzavřen v rámci skupiny operace závisí na komutativitě operace (viz část příklady).

Li A je abelian, pak torzní podskupina T je plně charakteristická podskupina z A a skupina faktorů A/T je bez zkroucení. Tady je kovarianční funktor z kategorie abelianských skupin do kategorie torzních skupin, které posílají každou skupinu do její torzní podskupiny a všechny homomorfismus k jejímu omezení na torzní podskupinu. Existuje další kovariantní funktor z kategorie abelianských skupin do kategorie torzních skupin, který posílá každou skupinu do svého kvocientu pomocí své torzní podskupiny a každý homomorfismus vysílá do zjevně indukovaného homomorfismu (který je snadno viditelný jako dobře definovaný ).

Li A je definitivně generováno a abelian, pak to může být psáno jako přímý součet jeho torzní podskupiny T a podskupina bez kroucení (ale to neplatí pro všechny nekonečně generované abelianské skupiny). Při jakémkoli rozkladu A jako přímý součet torzní podskupiny S a podskupina bez kroucení, S musí se rovnat T (ale podskupina bez kroucení není jednoznačně určena). Toto je klíčový krok při klasifikaci konečně generované abelianské skupiny.

p- podskupiny torzní síly

Pro jakoukoli abelianskou skupinu ${ displaystyle (A, +)}$ a jakékoli prvočíslo p sada A_Tp prvků A které mají řádovou moc p je podskupina s názvem p- podskupina torzní síly nebo, volněji, ppodskupina torze:

${ displaystyle A_ {T_ {p}} = {a v A ; | ; existuje n v mathbb {N} ;, p ^ {n} a = 0 }. ;}$

Torzní podskupina A_T je izomorfní s přímým součtem jeho p-moc torze podskupiny přes všechna prvočísla p:

${ displaystyle A_ {T} cong bigoplus _ {p in P} A_ {T_ {p}}. ;}$

Když A je konečná abelianská skupina, A_Tp se shoduje s jedinečným Sylow p- podskupina z A.

Každý p- podskupina torzní síly A je plně charakteristická podskupina. Silnější je, že každý homomorfismus mezi abelianskými skupinami posílá každou p- podskupina torzní síly do odpovídající p- podskupina torzní síly.

Pro každé prvočíslo p, toto poskytuje a funktor z kategorie abelianských skupin do kategorie p-mocné torzní skupiny, které posílají každou skupinu do její p- podskupina torzní síly a omezuje každý homomorfismus na p-tradiční podskupiny. Součin všech množin prvočísel omezení těchto funktorů na kategorii torzních skupin je a věrný funktor z kategorie torzních skupin na produkt přes všechna prvočísla kategorií p-trakční skupiny. V jistém smyslu to znamená studovat p- torzní skupiny v izolaci nám říkají vše o torzních skupinách obecně.

Příklady a další výsledky

4-torzní podskupina kvocientové skupiny komplexních čísel přidaných mřížkou.

• Podmnožina torze neabelské skupiny není obecně podskupinou. Například v nekonečná dihedrální skupina, který má prezentace:

⟨ X, y | X² = y² = 1 ⟩

prvek xy je produktem dvou torzních prvků, ale má nekonečný řád.

• Torzní prvky v a nilpotentní skupina formulář a normální podskupina.^[2]
• Každá konečná abelianská skupina je torzní skupinou. Ne každá torzní skupina je však konečná: zvažte přímý součet a počitatelný počet kopií cyklická skupina C₂; toto je torzní skupina, protože každý prvek má řád 2. Není třeba, aby byla horní hranice na řádech prvků ve torzní skupině, pokud není definitivně generováno, jako příklad skupina faktorů Q/Z ukazuje.
• Každý bezplatná abelianská skupina je bez kroucení, ale obrácení není pravdivé, jak ukazuje skupina aditiv racionální čísla Q.
• I kdyby A není definitivně generován, velikost jeho torzní část je jednoznačně určena, jak je podrobněji vysvětleno v článku hodnost abelianské skupiny.
• Abelianská skupina A je bez zkroucení kdyby a jen kdyby to je byt jako Z-modul, což znamená, že kdykoli C je podskupina nějaké abelianské skupiny B, pak přirozená mapa z tenzorový produkt C ⊗ A na B ⊗ A je injekční.
• Tenzorování abelianské skupiny A s Q (nebo nějaký dělitelná skupina ) zabíjí torzi. To je, pokud T je tedy torzní skupinou T ⊗ Q = 0. Pro obecnou abelianskou skupinu A s torzní podskupinou T jeden má A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q.
• Vezmeme-li torzní podskupinu, uděláme torzní abelianské skupiny do a základní reflexní podkategorie abelianských skupin, přičemž koeficient krouticího podskupinou torzí činí abelianské skupiny bez torzí do reflexní podkategorie.

Viz také

• Torze (algebra)
• Abelianská skupina bez kroucení
• Torzní abelianská skupina

Poznámky

Reference

• Epstein, David B. A.; Dělo, James W.; Holt, Derek F .; Levy, Silvio V. F .; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Zpracování textu ve skupinách, Boston, MA: vydavatelé Jones a Bartlett, ISBN  0-86720-244-0