Perfektní prsten - Perfect ring - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V oblasti abstraktní algebra známý jako teorie prstenů, a levý dokonalý prsten je typ prsten ve kterém všichni odešli moduly mít projektivní obaly. Pravý případ je definován analogicky a podmínka není zleva doprava symetrická; to znamená, že existují prsteny, které jsou perfektní na jedné straně, ale ne na druhé. Dokonalé prsteny byly představeny v (Bass 1960 ).

A semiperfektní prsten je prsten, nad kterým každý definitivně generováno levý modul má projektivní kryt. Tato vlastnost je zleva doprava symetrická.

Perfektní prsten

Definice

Následující ekvivalentní definice levého dokonalého prstenu R se nacházejí v (Anderson, Fuller a 1992, s. 315 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFAnderson, Fuller1992, _p.315 (Pomoc):

• Každý odešel R modul má projektivní kryt.
• R/ J (R) je polojednoduchý a J (R) je vlevo T-nilpotent (to znamená pro každou nekonečnou posloupnost prvků J (R) tady je n takový, že produkt první n termíny jsou nula), kde J (R) je Jacobson radikální z R.
• (Bassova věta P) R uspokojuje sestupný stav řetězu o hlavních ideálech práva. (Není chyba, tato podmínka je zapnuta že jo hlavní ideály jsou ekvivalentní bytí prstenu vlevo, odjet perfektní.)
• Každý byt vlevo, odjet R-modul je projektivní.
• R/ J (R) je poloviční a každá nenulová zbývá R modul obsahuje a maximální submodul.
• R neobsahuje žádnou nekonečnou ortogonální sadu idempotents a každé nenulové právo R modul obsahuje minimální submodul.

Příklady

• Pravé nebo levé Artinian prsteny, a poloprimární kroužky je známo, že jsou pravo-levý dokonalý.
• Následuje příklad (kvůli Bassovi) a místní prsten což je pravé, ale ne levé dokonalé. Nechat F být oborem a uvažovat o určitém okruhu nekonečné matice přes F.

Vezměte množinu nekonečných matic s položkami indexovanými ℕ × and, které mají pouze konečně mnoho nenulových položek, všechny nad úhlopříčkou, a označte tuto množinu ${ displaystyle J}$. Vezměte také matici ${ displaystyle I ,}$ se všemi 1 na úhlopříčce a vytvořte sadu

${ displaystyle R = {f cdot I + j mid f in F, j v J } ,}$

To lze ukázat R je prsten s identitou, jehož Jacobson radikální je J. Dále R/J je pole, takže R je místní a R je pravý, ale ne levý dokonalý. (Lam a 2001, s. 345-346 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLam2001, _p.345-346 (Pomoc)

Vlastnosti

Pro levý dokonalý prsten R:

• Z výše uvedených ekvivalentů odešel každý R modul má maximální submodul a projektivní kryt a plochý levý R moduly se shodují s projektivními levými moduly.
• Analog z Baerovo kritérium drží pro projektivní moduly.^{[Citace je zapotřebí ]}

Semiperfektní prsten

Definice

Nechat R být prsten. Pak R je semiperfect, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:

• R/ J (R) je polojednoduchý a idempotents výtah modulo J (R), kde J (R) je Jacobson radikální z R.
• R má kompletní ortogonální sadu E₁, ..., E_n idempotentů s každým E_i R e_i A místní prsten.
• Každý jednoduchý levá, pravá) R-modul má projektivní kryt.
• Každý definitivně generováno levá, pravá) R-modul má projektivní kryt.
• Kategorie konečně generovaného projektivu ${ displaystyle R}$-modulů je Krull-Schmidt.

Příklady

Mezi příklady semiperfektních prstenů patří:

• Levé (pravé) dokonalé prsteny.
• Místní prsteny.
• Kaplanskyho věta o projektivních modulech
• Levá, pravá) Artinian prsteny.
• Konečná dimenzionální k-algebry.

Vlastnosti

Protože prsten R je semiperfect iff every jednoduchý vlevo, odjet R-modul má projektivní kryt, každý prsten Morita ekvivalent k semiperfektnímu kruhu je také semiperfect.

Reference

• Anderson, Frank W; Fuller; Kent R (1992), Kroužky a kategorie modulů, Springer, str. 312–322, ISBN  0-387-97845-3
• Bass, Hyman (1960), „Finitistický rozměr a homologické zobecnění poloprimárních kruhů“, Transakce Americké matematické společnosti, 95 (3): 466–488, doi:10.2307/1993568, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993568, PAN  0157984
• Lam, T. Y. (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. Xx + 385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN  0-387-95183-0, PAN  1838439