Perfektní prsten - Perfect ring - Wikipedia
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V oblasti abstraktní algebra známý jako teorie prstenů, a levý dokonalý prsten je typ prsten ve kterém všichni odešli moduly mít projektivní obaly. Pravý případ je definován analogicky a podmínka není zleva doprava symetrická; to znamená, že existují prsteny, které jsou perfektní na jedné straně, ale ne na druhé. Dokonalé prsteny byly představeny v (Bass 1960 ).
A semiperfektní prsten je prsten, nad kterým každý definitivně generováno levý modul má projektivní kryt. Tato vlastnost je zleva doprava symetrická.
Perfektní prsten
Definice
Následující ekvivalentní definice levého dokonalého prstenu R se nacházejí v (Anderson, Fuller a 1992, s. 315 ) :
- Každý odešel R modul má projektivní kryt.
- R/ J (R) je polojednoduchý a J (R) je vlevo T-nilpotent (to znamená pro každou nekonečnou posloupnost prvků J (R) tady je n takový, že produkt první n termíny jsou nula), kde J (R) je Jacobson radikální z R.
- (Bassova věta P) R uspokojuje sestupný stav řetězu o hlavních ideálech práva. (Není chyba, tato podmínka je zapnuta že jo hlavní ideály jsou ekvivalentní bytí prstenu vlevo, odjet perfektní.)
- Každý byt vlevo, odjet R-modul je projektivní.
- R/ J (R) je poloviční a každá nenulová zbývá R modul obsahuje a maximální submodul.
- R neobsahuje žádnou nekonečnou ortogonální sadu idempotents a každé nenulové právo R modul obsahuje minimální submodul.
Příklady
- Pravé nebo levé Artinian prsteny, a poloprimární kroužky je známo, že jsou pravo-levý dokonalý.
- Následuje příklad (kvůli Bassovi) a místní prsten což je pravé, ale ne levé dokonalé. Nechat F být oborem a uvažovat o určitém okruhu nekonečné matice přes F.
- Vezměte množinu nekonečných matic s položkami indexovanými ℕ × and, které mají pouze konečně mnoho nenulových položek, všechny nad úhlopříčkou, a označte tuto množinu . Vezměte také matici se všemi 1 na úhlopříčce a vytvořte sadu
- To lze ukázat R je prsten s identitou, jehož Jacobson radikální je J. Dále R/J je pole, takže R je místní a R je pravý, ale ne levý dokonalý. (Lam a 2001, s. 345-346 )
Vlastnosti
Pro levý dokonalý prsten R:
- Z výše uvedených ekvivalentů odešel každý R modul má maximální submodul a projektivní kryt a plochý levý R moduly se shodují s projektivními levými moduly.
- Analog z Baerovo kritérium drží pro projektivní moduly.[Citace je zapotřebí ]
Semiperfektní prsten
Definice
Nechat R být prsten. Pak R je semiperfect, pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:
- R/ J (R) je polojednoduchý a idempotents výtah modulo J (R), kde J (R) je Jacobson radikální z R.
- R má kompletní ortogonální sadu E1, ..., En idempotentů s každým Ei R ei A místní prsten.
- Každý jednoduchý levá, pravá) R-modul má projektivní kryt.
- Každý definitivně generováno levá, pravá) R-modul má projektivní kryt.
- Kategorie konečně generovaného projektivu -modulů je Krull-Schmidt.
Příklady
Mezi příklady semiperfektních prstenů patří:
- Levé (pravé) dokonalé prsteny.
- Místní prsteny.
- Kaplanskyho věta o projektivních modulech
- Levá, pravá) Artinian prsteny.
- Konečná dimenzionální k-algebry.
Vlastnosti
Protože prsten R je semiperfect iff every jednoduchý vlevo, odjet R-modul má projektivní kryt, každý prsten Morita ekvivalent k semiperfektnímu kruhu je také semiperfect.
Reference
- Anderson, Frank W; Fuller; Kent R (1992), Kroužky a kategorie modulů, Springer, str. 312–322, ISBN 0-387-97845-3
- Bass, Hyman (1960), „Finitistický rozměr a homologické zobecnění poloprimárních kruhů“, Transakce Americké matematické společnosti, 95 (3): 466–488, doi:10.2307/1993568, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993568, PAN 0157984
- Lam, T. Y. (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. Xx + 385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, PAN 1838439