Syntaktický monoid - Syntactic monoid

v matematika a počítačová věda, syntaktický monoid M(L) a formální jazyk L je nejmenší monoidní že uznává jazyk L.

Syntaktický kvocient

The volný monoid na dané soubor je monoid, jehož prvky jsou všechny struny nula nebo více prvků z této sady, s zřetězení řetězce jako monoidní operace a prázdný řetězec jako prvek identity. Vzhledem k podmnožina ${ displaystyle S}$ volného monoidu ${ displaystyle M}$, jeden může definovat množiny, které se skládají z formální vlevo nebo vpravo inverze prvků v ${ displaystyle S}$. Tito se nazývají kvocienty, a jeden může definovat pravý nebo levý kvocient, podle toho, na které straně je zřetězení. To znamená, že pravý kvocient z ${ displaystyle S}$ elementem ${ displaystyle m}$ z ${ displaystyle M}$ je sada

${ displaystyle S / m = {u v M ; vert ; um v S }.}$

Podobně levý kvocient je

${ displaystyle m setminus S = {u v M ; vert ; mu v S }.}$

Syntaktická ekvivalence

Syntaktický kvocient indukuje vztah ekvivalence na M, volal syntaktický vztahnebo syntaktická ekvivalence (vyvolané S). Správná syntaktická ekvivalence je ekvivalenční vztah

${ displaystyle sim _ {S} ; = {(s, t) v M krát M , vert ; S / s = S / t }.}$

Podobně je levý syntaktický vztah

${ displaystyle {} _ {S} { sim} , = {(s, t) v M krát M , vert ; s setminus S = t setminus S }.}$

The syntaktická kongruence nebo Myhill shoda^[1] lze definovat jako^[2]

${ displaystyle s equiv _ {S} t Leftrightarrow for all x, y in M ​​(xsy in S Leftrightarrow xty in S).}$

Definice se vztahuje na kongruenci definovanou podmnožinou S obecného monoida M. A disjunktivní sada je podmnožina S tak, že syntaktická kongruence definovaná S je vztah rovnosti.^[3]

Zavolejme ${ displaystyle [s] _ {S}}$ třída ekvivalence ${ displaystyle s}$ pro syntaktickou kongruenci. Syntaktická kongruence je kompatibilní se zřetězením v monoidu, v tom jednom má

${ displaystyle [s] _ {S} [t] _ {S} = [st] _ {S}}$

pro všechny ${ displaystyle s, t v M}$. Syntaktický kvocient je tedy a monoidní morfismus, a indukuje a kvocient monoid

${ displaystyle M (S) = M / { ekviv _ {S}}.}$

Tento monoid ${ displaystyle M (S)}$ se nazývá syntaktický monoid z SJe možné ukázat, že je nejmenší monoidní že uznává S; to je M(S) uznává Sa pro každý monoid N uznání S, M(S) je podíl a submonoid z N. Syntaktický monoid z S je také přechodový monoid z minimální automat z S.^[1][2][4]

Podobně jazyk L je pravidelný právě tehdy, pokud jde o rodinu kvocientů

${ displaystyle {m setminus L , vert ; m v M }}$

je konečný.^[1] Důkaz prokazující rovnocennost je docela snadný. Předpokládejme, že řetězec X čte a deterministický konečný automat, přičemž stroj pokračuje do stavu p. Li y je další řetězec načtený strojem, který končí také ve stejném stavu p, pak jasně jeden má ${ Displaystyle x setminus L , = y setminus L}$. Počet prvků v ${ displaystyle {m setminus L , vert ; m v M }}$ je nanejvýš roven počtu stavů automatu a ${ displaystyle {m setminus L , vert ; m v L }}$ je nanejvýš počet konečných stavů. Předpokládejme naopak, že počet prvků v ${ displaystyle {m setminus L , vert ; m v M }}$ je konečný. Jeden pak může postavit automat kde ${ displaystyle Q = {m setminus L , vert ; m v M }}$ je množina států, ${ displaystyle F = {m setminus L , vert ; m v L }}$ je sada konečných stavů, jazyk L je počáteční stav a přechodová funkce je dána vztahem ${ Displaystyle y setminus (x setminus L) = (xy) setminus L}$. Je zřejmé, že tento automat rozpozná L. Tedy jazyk L je rozpoznatelný právě tehdy, když je sada ${ displaystyle {m setminus L , vert ; m v M }}$ je konečný. Všimněte si, že tento důkaz také staví minimální automat.

Vzhledem k regulární výraz E zastupující S, je snadné vypočítat syntaktický monoid S.

A skupinový jazyk je ten, pro který je syntaktický monoid a skupina.^[5]

Příklady

• Nechat L být jazykem A = {A,b} slov sudé délky. Syntaktická kongruence má dvě třídy, L sám a L₁, slova liché délky. Syntaktický monoid je skupina řádu 2 na {L,L₁}.^[6]
• The bicyklický monoid je syntaktický monoid z Dyck jazyk (jazyk vyvážených množin závorek).
• The volný monoid na A (|A| > 1) je syntaktický monoid jazyka { ww^R | w v A*}, kde w^R označuje obrácení slova w.
• Každý konečný monoid je homomorfní^{[je zapotřebí objasnění ]} na syntaktický monoid nějakého netriviálního jazyka,^[7] ale ne každý konečný monoid je izomorfní se syntaktickým monoidem.^[8]
• Každá konečná skupina je izomorfní se syntaktickým monoidem nějakého netriviálního jazyka.^[7]
• Jazyk přes {A,b} ve kterém je počet výskytů A a b jsou shodné modulo 2ⁿ je skupinový jazyk se syntaktickým monoidem Z/2ⁿ.^[5]
• Stopové monoidy jsou příklady syntaktických monoidů.
• Marcel-Paul Schützenberger^[9] charakterizováno jazyky bez hvězd jako ti s konečnými neperiodické syntaktické monoidy.^[10]

Reference

• Anderson, James A. (2006). Teorie automatů s moderními aplikacemi. S příspěvky Toma Heada. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-61324-8. Zbl  1127.68049.
• Holcombe, W.M.L. (1982). Teorie algebraických automatů. Cambridge studia pokročilé matematiky. 1. Cambridge University Press. ISBN  0-521-60492-3. Zbl  0489.68046.
• Lawson, Mark V. (2004). Konečné automaty. Chapman and Hall / CRC. ISBN  1-58488-255-7. Zbl  1086.68074.
• Pin, Jean-Éric (1997). "10. Syntaktické poloskupiny". In Rozenberg, G .; Salomaa, A. (eds.). Příručka teorie formálního jazyka (PDF). 1. Springer-Verlag. 679–746. Zbl  0866.68057.
• Sakarovitch, Jacques (2009). Základy teorie automatů. Z francouzštiny přeložil Reuben Thomas. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177.
• Straubing, Howard (1994). Konečné automaty, formální logika a složitost obvodů. Pokrok v teoretické informatice. Basilej: Birkhäuser. ISBN  3-7643-3719-2. Zbl  0816.68086.