Semiprime prsten - Semiprime ring

A Hasseův diagram části mřížky ideálů celých čísel Z. Fialové a zelené uzly označují ideály semiprime. Fialové uzly jsou hlavní ideály a fialové a modré uzly jsou primární ideály.

v teorie prstenů, obor matematiky, semiprime ideály a semiprime prsteny jsou zobecnění hlavní ideály a primární kroužky. v komutativní algebra, nazývají se také semiprime ideály radikální ideály.

Například v kruhu celá čísla, semiprime ideály jsou nulovým ideálem, spolu s těmi ideály formy ${displaystyle nmathbb {Z}}$ kde n je celé číslo bez čtverců. Tak, ${displaystyle 30mathbb {Z}}$ je semiprime ideál celých čísel (protože 30 = 2 × 3 × 5, bez opakovaných prvočísel), ale ${displaystyle 12mathbb {Z},}$ není (protože 12 = 2² × 3, s opakovaným prvočíslem).

Třída semiprime prstenů zahrnuje poloprimitivní prsteny, primární kroužky a redukované kroužky.

Většina definic a tvrzení v tomto článku se objevuje v (Lam 1999 ) a (Lam 2001 ).

Definice

Pro komutativní prsten R, správný ideál A je semiprime ideální -li A splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:

• Li X^k je v A pro nějaké kladné celé číslo k a prvek X z R, pak X je v A.
• Li y je v R ale ne v A, všechny kladné celočíselné síly y nejsou v A.

Druhá podmínka, že komplement je „uzavřen pod mocí“, je analogická se skutečností, že doplňky prvotních ideálů jsou uzavřeny při násobení.

Stejně jako u ideálních ideálů je i toto rozšířeno na nekomutativní kruhy „ideální“. Následující podmínky jsou ekvivalentními definicemi pro semiprime ideální A v kruhu R:

• Pro každý ideální J z R, pokud J^k⊆A pro kladné přirozené číslo k, pak J⊆A.
• Pro všechny že jo ideál J z R, pokud J^k⊆A pro kladné přirozené číslo k, pak J⊆A.
• Pro všechny vlevo, odjet ideál J z R, pokud J^k⊆A pro kladné přirozené číslo k, pak J⊆A.
• Pro všechny X v R, pokud xRx⊆A, pak X je v A.

I zde existuje nekomutativní analog prvotřídních ideálů jako doplněk m-systémy. Neprázdná podmnožina S prstenu R se nazývá n-systém pokud pro nějaké s v S, existuje r v R takhle srs je v S. S touto představou lze do výše uvedeného seznamu přidat další ekvivalentní bod:

• RA je n-systém.

Prsten R se nazývá a semiprime prsten pokud je nulový ideál ideálním semiprime. V komutativním případě je to ekvivalentní k R být snížený prsten, od té doby R nemá žádné nenulové nilpotentní prvky. V nekomutativním případě prsten pouze nemá nenulové nilpotentní správné ideály. Takže i když je redukovaný prsten vždy semiprime, obrácení není pravdivé.^[1]

Obecné vlastnosti ideálů semiprime

Pro začátek je jasné, že prvotřídní ideály jsou semiprime a pro komutativní prsteny semiprime primární ideál je hlavní.

I když průnik hlavních ideálů obvykle není hlavní, je to tak je semiprime ideální. Krátce se ukáže, že platí i obráceně, že každý semiprime ideál je průsečíkem rodiny prvotřídních ideálů.

Pro každý ideální B v kruhu R, můžeme vytvořit následující sady:

${displaystyle {sqrt {B}}: = igcap {Psubseteq Rmid Bsubseteq P, P {mbox {a prime ideal}}} subseteq {xin Rmid x ^ {n} v B {mbox {pro některé}} nin mathbb {N} ^ {+}},}$

Sada ${displaystyle {sqrt {B}}}$ je definice radikál z B a je zjevně ideálním semiprime Ba ve skutečnosti je to nejmenší poloprimeální ideální obsah B. Výše uvedené zahrnutí je někdy v obecném případě správné, ale pro komutativní kruhy se stává rovností.

S touto definicí ideál A je semiprime právě tehdy ${displaystyle {sqrt {A}} = A}$. V tomto bodě je také zřejmé, že každý poloprimeální ideál je ve skutečnosti průnikem rodiny prvotřídních ideálů. Navíc to ukazuje, že průsečík jakýchkoli dvou semiprime ideálů je opět semiprime.

Podle definice R je semiprime právě tehdy ${displaystyle {sqrt {{0}}} = {0}}$, to znamená, že průnik všech hlavních ideálů je nulový. To je ideální ${displaystyle {sqrt {{0}}}}$ je také označen ${displaystyle Nil _ {*} (R),}$ a také volal Baer je nižší nilradikální nebo Baer-Mccoyův radikál nebo hlavní radikál z R.

Semiprime Goldie prsteny

Právo Zlatý prsten je prsten, který má konečnost jednotný rozměr (také zvaný konečná hodnost) jako pravý modul nad sebou a splňuje vzestupný stav řetězu napravo anihilátory jejích podmnožin. Goldieho věta uvádí, že semiprime správné prsteny Goldie jsou přesně ty, které mají a polojednoduchý Artinian že jo klasický okruh kvocientů. The Artin – Wedderburnova věta pak zcela určuje strukturu tohoto kruhu kvocientů.

Reference

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích, Postgraduální texty z matematiky No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, PAN  1653294
• Lam, T. Y. (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. Xx + 385, ISBN  978-0-387-95183-6, PAN  1838439

externí odkazy

• Článek PlanetMath o ideálech semiprime