Alternativní algebra - Alternative algebra

v abstraktní algebra, an alternativní algebra je algebra ve kterém násobení nemusí být asociativní, pouze alternativní. To znamená, že člověk musí mít

• ${displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• ${displaystyle (yx) x = y (xx)}$

pro všechny X a y v algebře.

Každý asociativní algebra je samozřejmě alternativní, ale také některé jsou přísně neasociativní algebry tak jako octonions.

Spolupracovník

Alternativní algebry jsou tak pojmenovány, protože jsou to algebry, pro které spolupracovník je střídavý. Spolupracovníkem je a trilineární mapa dána

${displaystyle [x, y, z] = (xy) z-x (yz)}$.

Podle definice se víceřádková mapa střídá zmizí kdykoli jsou dva z jeho argumentů stejné. Levá a pravá alternativní identita pro algebru jsou ekvivalentní k^[1]

${displaystyle [x, x, y] = 0}$

${displaystyle [y, x, x] = 0.}$

Obě tyto identity společně naznačují, že přidružený je totálně šikmo symetrický. To znamená

${displaystyle [x_ {sigma (1)}, x_ {sigma (2)}, x_ {sigma (3)}] = operatorname {sgn} (sigma) [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} ]}$

pro všechny permutace σ. Z toho vyplývá, že

${displaystyle [x, y, x] = 0}$

pro všechny X a y. To je ekvivalentní s flexibilní identita^[2]

${displaystyle (xy) x = x (yx).}$

Asociator alternativní algebry se proto střídá. Naopak každá algebra, jejíž asociator se střídá, je jednoznačně alternativní. Symetrií, jakákoli algebra, která splňuje kterékoli dvě z:

• levá alternativní identita: ${displaystyle x (xy) = (xx) y}$
• správná alternativní identita: ${displaystyle (yx) x = y (xx)}$
• flexibilní identita: ${displaystyle (xy) x = x (yx).}$

je alternativní, a proto splňuje všechny tři identity.

Střídavý asociator je vždy zcela zkosený-symetrický. Konverzace platí tak dlouho, dokud charakteristický základního pole není 2.

Příklady

• Každý asociativní algebra je alternativní.
• The octonions tvoří neasociativní alternativní algebru, normovanou dělící algebru dimenze 8 na reálná čísla.^[3]
• Obecněji libovolné octonion algebra je alternativní.

Non-příklady

• The sedimenty a všechny vyšší Cayley – Dicksonovy algebry ztratit alternativitu.

Vlastnosti

Artinova věta uvádí, že v alternativní algebře subalgebra generované libovolnými dvěma prvky je asociativní.^[4] Naopak jakákoli algebra, pro kterou to platí, je jednoznačně alternativní. Z toho vyplývá, že výrazy zahrnující pouze dvě proměnné lze v alternativní algebře zapsat jednoznačně bez závorek. Zevšeobecnění Artinovy ​​věty říká, že kdykoli tři prvky ${displaystyle x, y, z}$ v alternativním spolupracovníkovi algebry (tj. ${displaystyle [x, y, z] = 0}$), subalgebra generovaná těmito prvky je asociativní.

Důsledkem Artinovy ​​věty je, že alternativní algebry jsou asociativní k moci, to znamená, že subalgebra generovaná jediným prvkem je asociativní.^[5] Konverzace nemusí platit: sedimenty jsou asociativní k síle, ale nejsou alternativní.

The Mufangské identity

• ${displaystyle a (x (ay)) = (axa) y}$
• ${displaystyle ((xa) y) a = x (aya)}$
• ${displaystyle (ax) (ya) = a (xy) a}$

držet v nějaké alternativní algebře.^[2]

V jednotné alternativní algebře jsou multiplikativní inverze jedinečné, kdykoli existují. Navíc pro jakýkoli invertibilní prvek ${displaystyle x}$ a všechno ${displaystyle y}$ jeden má

${displaystyle y = x ^ {- 1} (xy).}$

To je ekvivalentní tomu, co se říká spolupracovník ${displaystyle [x ^ {- 1}, x, y]}$ zmizí pro všechny takové ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$. Li ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ jsou tedy invertibilní ${displaystyle xy}$ je také invertibilní s inverzí ${displaystyle (xy) ^ {- 1} = y ^ {- 1} x ^ {- 1}}$. Sada všech invertibilních prvků je proto uzavřena při násobení a tvoří a Mufang smyčka. Tento smyčka jednotek v alternativním kruhu nebo algebře je analogický k skupina jednotek v asociativním kruhu nebo algebře.

Kleinfeldova věta uvádí, že jakýkoli jednoduchý neasociativní alternativní kruh je zobecněná oktonionová algebra nad jeho středem.^[6]Teorie struktury alternativních prstenů je uvedena v.^[7]

Aplikace

Projektivní rovina nad jakýmkoli alternativním dělícím prstencem je a Mufangové letadlo.

Úzký vztah alternativních algeber a složení algebry dal Guy Roos v roce 2008:^[8] Ukazuje (strana 162) vztah pro algebru A s jednotkovým prvkem E a involutivní anti-automorfismus ${displaystyle amapsto a ^ {*}}$ takhle A + A* a aa* jsou na lince překlenul podle E pro všechny A v A. Použijte notaci n(A) = aa*. Pak pokud n je ne-singulární mapování do pole A, a A je tedy alternativní (A, n) je kompoziční algebra.

Viz také

• Algebra nad polem
• Maltsevova algebra
• Zorn prsten

Reference

• Schafer, Richard D. (1995). Úvod do neasociativních algeber. New York: Dover Publications. ISBN  0-486-68813-5. Zbl  0145.25601.
• Zhevlakov, K.A .; Slin'ko, A.M .; Shestakov, I.P .; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Kroužky, které jsou téměř asociativní. Akademický tisk. ISBN  0-12-779850-1. PAN  0518614. Zbl  0487.17001.

externí odkazy

• Zhevlakov, K.A. (2001) [1994], „Alternativní prsteny a algebry“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS