Komutativní vlastnost - Commutative property

v matematika, a binární operace je komutativní pokud měníte pořadí operandy nemění výsledek. Je to základní vlastnost mnoha lidí binární operace, a mnoho matematické důkazy záleží na tom. Nejznámější jako název nemovitosti, která říká "3 + 4 = 4 + 3" nebo "2 × 5 = 5 × 2", vlastnost lze také použít v pokročilejším nastavení. Název je nutný, protože existují operace, například divize a odčítání, které jej nemají (například "3 − 5 ≠ 5 − 3"); takové operace jsou ne komutativní, a tak se označují jako nekomutativní operace. Myšlenka, že jednoduché operace, jako je násobení a přidání čísel, jsou komutativní se po mnoho let implicitně předpokládalo. Tato vlastnost tedy nebyla pojmenována až do 19. století, kdy se matematika začala formovat.[1][2] Odpovídající vlastnost existuje pro binární vztahy; o binární relaci se říká, že je symetrický pokud vztah platí bez ohledu na pořadí jeho operandů; například, rovnost je symetrický, protože dva stejné matematické objekty jsou stejné bez ohledu na jejich pořadí.[3]
Běžné použití
The komutativní vlastnost (nebo komutativní právo) je vlastnost obecně spojená s binárními operacemi a funkce. Pokud komutativní vlastnost platí pro dvojici prvků v rámci určité binární operace, pak se o těchto dvou prvcích říká dojíždět v rámci této operace.
Matematické definice
Termín „komutativní“ se používá v několika souvisejících smyslech.[4][5]
- Binární operace na soubor S je nazýván komutativní li:
- Jeden to říká x dojíždí s y pod li:
- A binární funkce je nazýván komutativní li:
Příklady
Komutativní operace v každodenním životě

- Navlékání ponožek připomíná komutativní operaci, protože ponožka je navlečena jako první, není důležité. Ať tak či onak, výsledek (s oběma ponožkami) je stejný. Naproti tomu oblékání spodního prádla a kalhot není komutativní.
- Komutativita sčítání je pozorována při platbě za položku v hotovosti. Bez ohledu na pořadí, v jakém jsou poukázky předávány, dávají vždy stejný součet.
Komutativní operace v matematice

Dva známé příklady komutativních binárních operací:[4]
- The přidání z reálná čísla je komutativní, protože
- Například 4 + 5 = 5 + 4, protože obojí výrazy rovná 9.
- The násobení z reálná čísla je komutativní, protože
- Například 3 × 5 = 5 × 3, protože oba výrazy se rovnají 15.
- Jako přímý důsledek toho také platí, že výrazy ve tvaru y% z z a y% z z% jsou komutativní pro všechna reálná čísla y a z.[6] Například 64% z 50 = 50% z 64, protože oba výrazy se rovnají 32, a 30% z 50% = 50% z 30%, protože oba tyto výrazy se rovnají 15%.
- Nějaký binární funkce pravdy jsou také komutativní, protože pravdivostní tabulky protože funkce jsou stejné, když se změní pořadí operandů.
- Například logická biconditional funkce p ↔ q odpovídá q ↔ p. Tato funkce se také píše jako str MFF q, nebo jako p ≡ q, nebo jako Epq.
- Poslední forma je příkladem nejstručnějšího zápisu v článku o pravdivostních funkcích, který uvádí šestnáct možných binárních pravdivých funkcí, z nichž osm je komutativních: Vpq = Vqp; Apq (OR) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; K.pq (AND) = K.qp; Xpq (NOR) = Xqp; Ópq = O.qp.
- Další příklady komutativních binárních operací zahrnují sčítání a násobení komplexní čísla, doplnění a skalární násobení z vektory, a průsečík a svaz z sady.
Nezávazné operace v každodenním životě
- Zřetězení, akt spojování řetězců znaků dohromady, je nekomutativní operace. Například,
- EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA
- Praní a sušení oděvů připomíná nezávaznou operaci; praní a následné sušení vytváří výrazně odlišný výsledek než sušení a následné praní.
- Otočení knihy o 90 ° kolem svislé osy a poté o 90 ° kolem vodorovné osy vytvoří jinou orientaci, než když jsou otáčky prováděny v opačném pořadí.
- Zvraty Rubikova kostka jsou nekomutativní. To lze studovat pomocí teorie skupin.
- Myšlenkové procesy jsou nekomutativní: Osoba položená na otázku (A) a poté na otázku (B) může dát na každou otázku jiné odpovědi než osoba, která byla položena nejprve (B) a poté (A), protože položením otázky může dojít ke změně stavu osoby mysli.
- Oblékání je buď komutativní, nebo nekomutativní, v závislosti na položkách. Oblékání spodního prádla a normálního oblečení není běžné. Navlékání levých a pravých ponožek je komutativní.
- Zamíchání balíčku karet je nekomutativní. Vzhledem k tomu, že A a B, které zamíchají balíček karet, není nejprve provedeno A a pak B totéž jako nejprve provedeno B a poté A.
Nekomutativní operace v matematice
Některé nekomutativní binární operace:[7]
Dělení a odčítání
Divize je nekomutativní, protože .
Odčítání je nekomutativní, protože . Přesněji je však klasifikován jako antikomutativní, od té doby .
Pravdivé funkce
Nějaký funkce pravdy jsou nekomutativní, protože pravdivostní tabulky protože funkce se liší, když se změní pořadí operandů. Například pravdivostní tabulky pro (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) a (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) jsou
A B A ⇒ B B ⇒ A F F T T F T T F T F F T T T T T
Funkční složení lineárních funkcí
Složení funkce z lineární funkce z reálná čísla na reálná čísla je téměř vždy nekomutativní. Například nechte a . Pak
a
To platí obecněji pro lineární a afinní transformace od a vektorový prostor pro sebe (viz níže maticová reprezentace).
Násobení matic
Matice násobení čtvercové matice je téměř vždy nekomutativní, například:
Vektorový produkt
Vektorový produkt (nebo křížový produkt ) dvou vektorů ve třech rozměrech je antikomutativní; tj., b × A = −(A × b).
Historie a etymologie
Záznamy o implicitním použití komutativní vlastnosti sahají do starověku. The Egypťané použil komutativní vlastnost násobení zjednodušit výpočet produkty.[8][9] Euklid je známo, že ve své knize převzal komutativní vlastnost násobení Elementy.[10] Formální využití komutativní vlastnosti vzniklo na konci 18. a na počátku 19. století, kdy matematici začali pracovat na teorii funkcí. Komutativní vlastnost je dnes známá a základní vlastnost používaná ve většině oborů matematiky.
První zaznamenané použití termínu komutativní byl v monografii od François Servois v roce 1814,[1][11] který použil slovo komutativy při popisu funkcí, které mají to, co se nyní nazývá komutativní vlastnost. Toto slovo je kombinací francouzského slova dojíždějící což znamená „nahradit nebo přepnout“ a přípona - nativní což znamená „inklinovat k“, takže slovo doslovně znamená „inklinovat k nahrazování nebo přepínání“. Termín se pak objevil v angličtině v roce 1838[2] v Duncan Farquharson Gregory Článek s názvem "O skutečné povaze symbolické algebry" publikovaný v roce 1840 v Transakce Royal Society of Edinburgh.[12]
Výroková logika
Pravidla transformace |
---|
Výrokový počet |
Pravidla odvození |
Pravidla výměny |
Predikátová logika |
Pravidlo výměny
V pravdivě funkční výrokové logice komutace,[13][14] nebo komutativita[15] viz dva platný pravidla nahrazení. Pravidla umožňují provedení výrokové proměnné v rámci logické výrazy v logické důkazy. Pravidla jsou:
a
kde "" je metalogické symbol představující "lze nahradit v a důkaz s."
Pravda funkční spojky
Komutativita je majetkem některých logické spojky pravdy funkční výroková logika. Následující logické ekvivalence prokázat, že komutativita je vlastnost konkrétních spojovacích prostředků. Následující jsou pravdivě funkční tautologie.
- Komutativita spojení
- Komutativita disjunkce
- Komutativita implikace (nazývaný také zákon permutace)
- Komutativita ekvivalence (nazývaná také úplný komutativní zákon ekvivalence)
Teorie množin
v skupina a teorie množin, mnoho algebraických struktur se nazývá komutativní, když určité operandy uspokojí komutativní vlastnost. Ve vyšších oborech matematiky, jako např analýza a lineární algebra komutativita známých operací (např přidání a násobení na reálných a komplexních číslech) se často používá (nebo implicitně předpokládá) v důkazech.[16][17][18]
Matematické struktury a komutativita
- A komutativní poloskupina je sada obdařená celkem, asociativní a komutativní provoz.
- Pokud má operace navíc prvek identity, máme komutativní monoid
- An abelianská skupina nebo komutativní skupina je skupina jehož skupinová operace je komutativní.[17]
- A komutativní prsten je prsten jehož násobení je komutativní. (Přidání do kruhu je vždy komutativní.)[19]
- V pole sčítání i násobení jsou komutativní.[20]
Související vlastnosti
Asociativita
Asociativní vlastnost úzce souvisí s komutativní vlastností. Asociativní vlastnost výrazu, který obsahuje dva nebo více výskytů stejného operátoru, uvádí, že operace pořadí jsou prováděny, nemá vliv na konečný výsledek, pokud se pořadí výrazů nezmění. Naproti tomu komutativní vlastnost uvádí, že pořadí výrazů nemá vliv na konečný výsledek.
Většina komutativních operací, se kterými se v praxi setkáváme, je také asociativních. Komutativita však neznamená asociativitu. Protikladem je funkce
což je jasně komutativní (zaměnitelné X a y nemá vliv na výsledek), ale není asociativní (protože například ale Další příklady lze nalézt v komutativní neasociativní magma.
Distribuční
Symetrie

Některé formy symetrie lze přímo spojit s komutativitou. Když je komutativní operátor zapsán jako binární funkce, je výsledná funkce symetrická přes celou čáru y = x. Jako příklad, pokud necháme funkci F představují sčítání (komutativní operace), takže F(X,y) = X + y pak F je symetrická funkce, kterou lze vidět na sousedním obrázku.
Pro vztahy, a symetrický vztah je analogický komutativní operaci v tom případě, že relace R je tedy symetrický .
Non-dojíždějící operátoři v kvantové mechanice
v kvantová mechanika jak formuloval Schrödinger, fyzické proměnné jsou reprezentovány lineární operátory jako X (to znamená vynásobit X), a . Tito dva operátoři nedojíždějí, jak je patrné z hlediska jejich efektu složení a (nazývané také produkty operátorů) na jednorozměrném vlnová funkce :
Podle princip nejistoty z Heisenberg, pokud dva operátory představující dvojici proměnných nedojíždějí, pak se tato dvojice proměnných vzájemně mění komplementární, což znamená, že je nelze současně měřit ani přesně znát. Například poloha a lineární hybnost v X-směr částice jsou reprezentovány operátory a (v uvedeném pořadí) je snížená Planckova konstanta ). Toto je stejný příklad s výjimkou konstanty , takže operátoři opět nedojíždějí a fyzický význam je, že poloha a lineární hybnost v daném směru se vzájemně doplňují.
Viz také
- Antikomutativní majetek
- Centralizátor a normalizátor (také nazývaný komutant)
- Komutativní diagram
- Komutativní (neurofyziologie)
- Komutátor
- Paralelogramový zákon
- Statistika částic (pro komutativitu v fyzika )
- Kvazi-komutativní majetek
- Trace monoid
- Pravděpodobnost dojíždění
Poznámky
- ^ A b Cabillón a Miller, Komutativní a distribuční
- ^ A b Flood, Raymond; Rýže, Adrian; Wilson, Robin, eds. (2011). Matematika ve viktoriánské Británii. Oxford University Press. str. 4. ISBN 9780191627941.
- ^ Weisstein, Eric W. „Symetrický vztah“. MathWorld.
- ^ A b Krowne, str.1
- ^ Weisstein, Dojíždět, str.1
- ^ „Kompatibilní čísla pro zjednodušení procentuálních problémů“. Citováno 17. července 2020.
- ^ Yark, str.1.
- ^ Lumpkin, str.11
- ^ Gay a Shute, str.?
- ^ O'Conner a Robertson, Skutečná čísla
- ^ O'Conner a Robertson, Servois
- ^ D. F. Gregory (1840). „O skutečné povaze symbolické algebry“. Transakce Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216.
- ^ Moore a Parker
- ^ Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Úvod do logiky. Prentice Hall.
- ^ Hurley, Patrick (1991). Stručný úvod do 4. vydání Logic. Wadsworth Publishing.
- ^ Axler, str.2
- ^ A b Gallian, s. 34
- ^ str. 26,87
- ^ Gallian str. 236
- ^ Gallian str.250
Reference
Knihy
- Axler, Sheldon (1997). Lineární algebra Hotovo vpravo, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- Teorie abstraktní algebry. V této souvislosti zahrnuje komutativitu. Používá majetek v celé knize.
- Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Úvod do logiky. Prentice Hall.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Gallian, Joseph (2006). Současná abstraktní algebra, 6e. Boston, Massachusetts: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
- Teorie lineární algebry. Vysvětluje komutativitu v kapitole 1, používá ji v celém textu.
- Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
- Teorie abstraktní algebry. V celé knize používá vlastnost komutativity.
- Hurley, Patrick (1991). Stručný úvod do 4. vydání Logic. Wadsworth Publishing.
Články
- https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). Matematické dědictví starověkého Egypta - reakce na Roberta Paltera. Nepublikovaný rukopis.
- Článek popisující matematické schopnosti starověkých civilizací.
- Robins, R. Gay a Charles C. D. Shute. 1987. Matematický papyrus Rhind: staroegyptský text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
- Překlad a tlumočení Rhind Mathematical Papyrus.
Online zdroje
- „Komutativita“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Krowne, Aarone, Komutativní na PlanetMath., Přístup 8. srpna 2007.
- Definice komutativity a příklady komutativních operací
- Weisstein, Eric W. "Dojíždět". MathWorld., Zpřístupněno 8. srpna 2007.
- Vysvětlení pojmu dojíždění
- Yark. Příklady nekomutativních operací na PlanetMath., Přístup 8. srpna 2007
- Příklady prokazující některé nekomutativní operace
- O'Conner, J. J. a Robertson, E. F. MacTutor historie reálných čísel, Zpřístupněno 8. srpna 2007
- Článek s historií reálných čísel
- Cabillón, Julio a Miller, Jeff. Nejstarší známá použití matematických výrazů, Zpřístupněno 22. listopadu 2008
- Stránka pokrývající nejčasnější použití matematických výrazů
- O'Conner, J. J. a Robertson, E. F. MacTutor biografie Françoise Servoise, Zpřístupněno 8. srpna 2007
- Životopis Francoise Servoise, který tento výraz poprvé použil