Délka modulu - Length of a module - Wikipedia
v abstraktní algebra, délka a modul je zobecněním dimenze a vektorový prostor který měří jeho velikost.[1] strana 153 Zejména jako v případě vektorových prostorů jsou jedinými moduly konečné délky konečně generované moduly. Je definována jako délka nejdelšího řetězce podmoduly. Moduly s konečný délka sdílí mnoho důležitých vlastností s konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory.
Další pojmy používané k „počítání“ v teorii kruhů a modulů jsou hloubka a výška; oba jsou poněkud jemnější k definování. Jejich použití je navíc více sladěno s teorie dimenzí zatímco délka se používá k analýze konečných modulů. Existují také různé nápady dimenze které jsou užitečné. Konečné komutativní kruhy hrají zásadní roli při funkčních úpravách formální algebraická geometrie a Teorie deformace kde Artin prsteny jsou hojně využívány.
Definice
Délka modulu
Nechat být (levý nebo pravý) modul nad některými prsten . Vzhledem k řetězci submodulů formuláře
říkáme to je délka řetězu.[1] The délka z je definována jako největší délka kteréhokoli z jejích řetězců. Pokud taková největší délka neexistuje, říkáme to má nekonečná délka.
Délka prstenu
Prsten se říká, že má konečnou délku jako prsten, pokud má konečnou délku jako levý -modul.
Vlastnosti
Konečná délka a konečné moduly
Pokud -modul má konečnou délku, pak je definitivně generováno.[2] Li R je pole, pak platí i obrácení.
Vztah k modulům Artinian a Noetherian
An -modul má konečnou délku právě tehdy, je-li obojí a Noetherian modul a Artinian modul[1] (srov. Hopkinsova věta ). Jelikož jsou všechny artinianské prsteny noetherovské, znamená to, že prsten má konečnou délku právě tehdy, je-li artiniánský.
Chování s ohledem na krátké přesné sekvence
Předpokládat
je krátká přesná sekvence z - moduly. Pak M má konečnou délku právě tehdy L a N mít konečnou délku a my máme
Zejména to znamená následující dvě vlastnosti
- Přímý součet dvou modulů konečné délky má konečnou délku
- Submodul modulu s konečnou délkou má konečnou délku a jeho délka je menší nebo stejná jako jeho nadřazený modul.
Jordan – Hölderova věta
A kompoziční série modulu M je řetězec formy
takhle
Modul M má konečnou délku právě tehdy, má-li (konečnou) kompoziční řadu a délka každé takové kompoziční řady se rovná délce M.
Příklady
Konečné dimenzionální vektorové prostory
Libovolný konečný dimenzionální vektorový prostor přes pole má konečnou délku. Daný základ tam je řetěz
který je dlouhý . Je to maximální, protože daný řetězec
dimenze každého začlenění se zvýší nejméně o . Proto se jeho délka a rozměr shodují.
Artinianské moduly
Přes základní kroužek , Artinianské moduly tvoří třídu příkladů konečných modulů. Tyto příklady ve skutečnosti slouží jako základní nástroje pro definování pořadí zmizení Teorie křižovatky.[3]
Nulový modul
Nulový modul je jediný s délkou 0.
Jednoduché moduly
Moduly s délkou 1 jsou přesně jednoduché moduly.
Artinianské moduly nad Z
Délka cyklická skupina (zobrazeno jako modul nad celá čísla Z) se rovná počtu primární faktory , přičemž se několikrát počítalo více hlavních faktorů. To lze zjistit pomocí Čínská věta o zbytku.
Použití v teorii multiplicity
Pro potřebu Teorie křižovatky, Jean-Pierre Serre představil obecnou představu o multiplicita bodu, jako délka an Artinianský místní prsten související s tímto bodem.
První aplikace byla úplnou definicí multiplicita křižovatky, a zejména prohlášení o Bézoutova věta který tvrdí, že součet multiplicit průsečíků n algebraické hyperplochy v n-dimenzionální projektivní prostor je buď nekonečný, nebo je přesně součin stupňů nadpovrchů.
Tato definice multiplicity je poměrně obecná a obsahuje jako zvláštní případy většinu předchozích představ o algebraické multiplicitě.
Pořadí mizení nul a pólů
Tato část a pododdíly může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli.Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Zvláštní případ této obecné definice multiplicity je pořadí zmizení nenulové algebraické funkce na algebraické odrůdě. Vzhledem k algebraická rozmanitost a a podrodina z kodimenzionální 1[3] pořadí zmizení pro polynom je definován jako[4]
kde je místní kruh definovaný stopkou podél subvariety [3] stránky 426-227, nebo ekvivalentně stonek z v obecném bodě [5] strana 22. Li je afinní odrůda, a je definován úběžníkem , pak je tu izomorfismus
Tuto myšlenku lze poté rozšířit na racionální funkce na odrůdě kde je pořadí definováno jako
což je podobné definování pořadí nul a pólů v Složitá analýza.
Příklad projektivní odrůdy
Zvažte například a projektivní povrch definovaný polynomem , pak pořadí zmizení racionální funkce
je dána
kde
Například pokud a a pak
od té doby je Unit (ring theory) v místním kruhu . V druhém případě je jednotka, takže kvocientový modul je izomorfní s
takže má délku . To lze zjistit pomocí maximální správné sekvence
Nula a póly analytické funkce
Pořadí mizení je zobecněním řádu nul a pólů pro meromorfní funkce v Složitá analýza. Například funkce
má nuly řádu 2 a 1 v a pól řádu v . Tento druh informací lze kódovat pomocí délky modulů. Například nastavení a , existuje přidružený místní prsten je a kvocientový modul
Všimněte si, že je jednotka, takže je isomorfní s kvocientovým modulem
Jeho délka je protože existuje maximální řetězec
podmodulů.[6] Obecněji pomocí Weierstrassova faktorizační věta a meromorfní funkční faktory jako
což je (možná nekonečný) produkt lineárních polynomů v čitateli i jmenovateli.
Viz také
- Série Hilbert – Poincaré
- Weilův dělitel
- Chow prsten
- Teorie křižovatky
- Weierstrassova faktorizační věta
- Serreovy domněnky mnohosti
- Hilbertovo schéma - lze použít ke studiu modulů na a Systém s pevnou délkou
- Krull – Schmidtova věta
Reference
- ^ A b C „Termín komutativní algebry“. www.centerofmathematics.com. str. 153–158. Archivováno z původního dne 2013-03-02. Citováno 2020-05-22. Alternativní URL
- ^ „Lemma 10.51.2 (02LZ) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-22.
- ^ A b C d Fulton, William, 1939- (1998). Teorie křižovatky (2. vyd.). Berlín: Springer. s. 8–10. ISBN 3-540-62046-X. OCLC 38048404.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ „Oddíl 31.26 (0BE0): Weilův dělitel - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-22.
- ^ Hartshorne, Robin (1977). Algebraická geometrie. Postgraduální texty z matematiky. 52. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-1-4419-2807-8.
- ^ „Oddíl 10.120 (02 MB): Objednávky zmizení - projekt Stohy“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-22.
externí odkazy
- Steven H. Weintraub, Teorie reprezentace konečných skupin AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
- Allen Altman, Steven Kleiman, Termín komutativní algebry.
- Projekt Stohy. Délka