Čistý submodul - Pure submodule
v matematika, zejména v oblasti teorie modulů, pojem čistý submodul poskytuje zobecnění přímý součet, druh zvláště dobře vychovaného kusu a modul. Čisté moduly se doplňují s ploché moduly a zobecnit Prüferovu představu o čisté podskupiny. Zatímco ploché moduly jsou ty moduly, které opouštějí krátké přesné sekvence přesně po tenzorování, čistý submodul definuje krátkou přesnou sekvenci, která zůstane přesná i po tenzorování jakýmkoli modulem. Podobně plochý modul je a přímý limit z projektivní moduly a čistý submodul definuje krátkou přesnou sekvenci, která je přímým limitem rozdělit přesné sekvence, každý je definován přímým součtem.
Definice
Nechat R být prsten (asociativní, s 1) a nechat M a P být moduly přes R. Li i: P → M je injekční pak P je čistý submodul M pokud vůbec R-modul X, přirozeně indukovaná mapa na tenzorové výrobky i ⊗ idX : P ⊗ X → M ⊗ X je injekční.
Analogicky, a krátká přesná sekvence
z R-modulů je čistý přesný pokud sekvence zůstane přesná, když je tenzorována jakoukoli R-modul X. To se rovná tomu, že se to říká F(A) je čistý submodul B.
Čistotu lze také vyjádřit po prvcích; je to opravdu výrok o řešitelnosti určitých systémů lineárních rovnic. Konkrétně P je čistý M pouze tehdy, pokud platí následující podmínka: pro libovolnou m-podle-n matice (Aij) se záznamy v Ra libovolná sada y1, ..., ym prvků P, pokud existují prvky X1, ..., Xn v M takhle
pak existují také prvky X1′, ..., Xn′ v P takhle
Příklady
- Každý přímý součet z M je čistý M. V důsledku toho každý podprostor a vektorový prostor přes pole je čistý.
- (Lam a 1999, s. 154 ) Předpokládat
je krátká přesná sekvence R-moduly, pak:
- C je plochý modul právě když je přesná sekvence čistě přesná pro všechny A a B. Z toho můžeme odvodit, že v průběhu a von Neumann pravidelný prsten, každý submodul každý R-modul je čistý. To je proto, že každý modul nad von Neumannovým pravidelným prstencem je plochý. Opak je také pravdivý. (Lam a 1999, s. 162 )
- Předpokládat B je plochá. Pak je sekvence čistě přesná právě tehdy C je plochá. Z toho lze odvodit, že čisté dílčí moduly plochých modulů jsou ploché.
- Předpokládat C je plochá. Pak B je plochá právě tehdy A je plochá.
Ekvivalentní charakterizace
Sekvence je čistě přesná právě tehdy, je-li to filtrovaný kolimit (také známý jako přímý limit ) z rozdělit přesné sekvence
Reference
- ^ U abelianských skupin se to dokazuje v Fuchs (2015, Ch. 5, Thm. 3.4)
- Fuchs, László (2015), Abelianské skupinySpringer Monografie z matematiky, Springer, ISBN 9783319194226
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294