Přímý produkt - Direct product - Wikipedia

v matematika, lze často definovat a přímý produkt již známých objektů, které dávají nový. Tím se zobecňuje kartézský součin podkladového sady společně s vhodně definovanou strukturou na sadě produktů. Více abstraktně se mluví o produkt v teorii kategorií, který tyto pojmy formalizuje.

Příklady jsou produktem sad, skupiny (popsané níže), prsteny, a další algebraické struktury. The produkt z topologické prostory je další instance.^{[pochybný – diskutovat]}

K dispozici je také přímý součet - v některých oblastech se to používá zaměnitelně, zatímco v jiných je to jiný koncept.

Příklady

Pokud na to myslíme ${ displaystyle mathbb {R}}$ jako množina reálných čísel, pak přímý součin ${ displaystyle mathbb {R} krát mathbb {R}}$ je pouze kartézský produkt ${ displaystyle {(x, y) střední x, y v mathbb {R} }}$ .
Pokud na to myslíme ${ displaystyle mathbb {R}}$ jako skupina reálných čísel při sčítání, pak přímý součin ${ displaystyle mathbb {R} krát mathbb {R}}$ stále má ${ displaystyle {(x, y) střední x, y v mathbb {R} }}$ jako jeho podkladová sada. Rozdíl mezi tímto a předchozím příkladem je v tom ${ displaystyle mathbb {R} krát mathbb {R}}$ je nyní skupina, a proto musíme také říci, jak přidat jejich prvky. To se provádí definováním ${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ .
Pokud na to myslíme ${ displaystyle mathbb {R}}$ jako prsten reálných čísel, pak přímý součin ${ displaystyle mathbb {R} krát mathbb {R}}$ opět má ${ displaystyle {(x, y) střední x, y v mathbb {R} }}$ jako jeho podkladová sada. Kruhová struktura prstenu se skládá z přidání definovaného symbolem ${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ a násobení definované ${ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac, bd)}$ .
Pokud však pomyslíme na ${ displaystyle mathbb {R}}$ jako pole reálných čísel, pak přímý součin ${ displaystyle mathbb {R} krát mathbb {R}}$ neexistuje - naivně definující sčítání a násobení po částech jako ve výše uvedeném příkladu by nevedlo k poli, protože prvek ${ displaystyle (1,0)}$ nemá multiplikativní inverzní.

Podobným způsobem můžeme hovořit o přímém produktu konečně mnoha algebraických struktur, např. ${ displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R}}$ . To závisí na skutečnosti, že přímý produkt je asociativní až do izomorfismus. To znamená ${ displaystyle (A krát B) krát C cong A krát (B krát C)}$ pro všechny algebraické struktury ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , a ${ displaystyle C}$ stejného druhu. Přímý produkt je také komutativní až do izomorfismu, tj. ${ displaystyle A krát B cong B krát A}$ pro všechny algebraické struktury ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ stejného druhu. Můžeme dokonce mluvit o přímém produktu nekonečně mnoha algebraických struktur; například můžeme vzít přímý produkt z spočetně mnoho kopií ${ displaystyle mathbb {R}}$ , které píšeme jako ${ displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times dotsb}$ .

Seskupte přímý produkt

v teorie skupin lze definovat přímý součin dvou skupin (G, ∘) a (H, ∙), označeno G × H. Pro abelianské skupiny které jsou psány aditivně, lze jej také nazvat přímý součet dvou skupin, označeno ${ displaystyle G oplus H}$ .

Je definován takto:

the soubor prvků nové skupiny je kartézský součin množin prvků z G a H, to je {(G, h): G ∈ G, h ∈ H};
na tyto prvky vložte operaci, definovanou po jednotlivých prvcích:
(G, h) × (G', h ' ) = (G ∘ G', h ∙ h')

(Všimněte si, že (G, ∘) mohou být stejné jako (H, ∙))

Tato konstrukce dává novou skupinu. Má to normální podskupina izomorfní s G (dané prvky formuláře (G, 1)) a jeden izomorfní s H (obsahující prvky (1, h)).

Opak platí také, existuje následující věta o rozpoznání: Je-li skupina K. obsahuje dvě normální podskupiny G a H, takový, že K.= GH a křižovatka G a H obsahuje tedy pouze identitu K. je izomorfní s G × H. Uvolnění těchto podmínek, které vyžaduje, aby byla normální pouze jedna podskupina, dává polopřímý produkt.

Jako příklad vezměte jako G a H dvě kopie jedinečné (až izomorfismy) skupiny řádu 2, C₂: řekněme {1, A} a {1, b}. Pak C₂×C₂ = {(1,1), (1,b), (A,1), (A,b)}, s operací prvek po prvku. Například (1,b)*(A,1) = (1*A, b*1) = (A,b) a (1,b)*(1,b) = (1,b²) = (1,1).

S přímým produktem získáme něco přirozeného skupinové homomorfismy zdarma: projekční mapy definovány pomocí

{ displaystyle { begin {zarovnáno} pi _ {1}: G krát H až G, pi _ {1} (g, h) & = g pi _ {2}: G krát H až H, pi _ {2} (g, h) & = h end {zarovnáno}}}

volal souřadnicové funkce.

Také každý homomorfismus F k přímému produktu je zcela určen jeho komponentními funkcemi ${ displaystyle f_ {i} = pi _ {i} circ f}$ .

Pro jakoukoli skupinu (G, ∘) a jakékoli celé číslo n ≥ 0, opakovaná aplikace přímého produktu dává skupině všech n-n-tice Gⁿ (pro n = 0 dostaneme triviální skupina ), například Zⁿ a Rⁿ.

Přímý produkt modulů

Přímý produkt pro moduly (nezaměňovat s tenzorový produkt ) je velmi podobný tomu, který je definován pro výše uvedené skupiny, přičemž používá kartézský součin, jehož operace sčítání je po částech, a skalární násobení, které se distribuuje přes všechny složky. Začínající od R dostaneme Euklidovský prostor Rⁿ, prototypický příklad skutečného n-dimenzionální vektorový prostor. Přímý produkt R^m a Rⁿ je R^m+n.

Všimněte si, že přímý produkt pro konečný index ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ je totožný s přímý součet ${ displaystyle bigoplus _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ . Přímý součet a přímý součin se liší pouze pro nekonečné indexy, kde prvky přímého součtu jsou nulové pro všechny, ale pro konečný počet záznamů. Jsou dvojí ve smyslu teorie kategorií: přímý součet je koprodukt, zatímco přímý produkt je produkt.

Zvažte například ${ displaystyle X = prod _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {R}}$ a ${ displaystyle Y = bigoplus _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {R}}$ , nekonečný přímý součin a přímý součet reálných čísel. Jsou pouze sekvence s konečným počtem nenulových prvků Y. Například (1,0,0,0, ...) je v Y ale (1,1,1,1, ...) není. Obě tyto sekvence jsou v přímém produktu X; ve skutečnosti, Y je správná podmnožina X (to znamená, Y ⊂ X).^[1]^[2]

Přímý produkt topologického prostoru

Přímý produkt pro sbírku topologické prostory X_i pro i v Já, nějaká sada indexů, opět využívá kartézský součin

{ displaystyle prod _ {i v I} X_ {i}.}

Definování topologie je trochu složité. Pro konečně mnoho faktorů je to zřejmá a přirozená věc: jednoduše si vezměte jako základ otevřených sad, které mají být sbírkou všech kartézských produktů otevřených podmnožin z každého faktoru:

{ displaystyle { mathcal {B}} = {U_ {1} times cdots times U_ {n} | U_ {i} mathrm {open in} X_ {i} }. }

Tato topologie se nazývá topologie produktu. Například přímé definování topologie produktu na R² otevřenými soubory R (disjunktní spojení otevřených intervalů), základem této topologie by byly všechny disjunktní spojení otevřených obdélníků v rovině (jak se ukázalo, shoduje se s obvyklým metrický topologie).

Topologie produktu pro nekonečné produkty má twist, a to má co do činění s tím, aby bylo možné spojit všechny projekční mapy a učinit všechny funkce do produktu spojité tehdy a jen tehdy, když jsou spojité všechny jeho komponenty (tj. Aby byly splněny kategorické definice produktu: morfismy zde jsou spojité funkce): za základ otevřených množin považujeme shromažďování všech kartézských produktů otevřených podmnožin od každého faktoru, tak jako dříve, s podmínkou, že všechny až na konečně mnoho otevřených podmnožin jsou celý faktor:

{ displaystyle { mathcal {B}} = left { prod _ {i in I} U_ {i} { Big |} ( existuje j_ {1}, ldots, j_ {n} ) (U_ {j_ {i}} mathrm {open in} X_ {j_ {i}}) mathrm {a} ( forall i neq j_ {1}, ldots, j_ {n }) (U_ {i} = X_ {i}) doprava }.}

Přirozeně znějící topologií by v tomto případě bylo vzít produkty nekonečně mnoha otevřených podmnožin jako dříve, a to přináší poněkud zajímavou topologii, topologie pole. Není však příliš těžké najít příklad řady funkcí spojitých komponent, jejichž funkce produktu není spojitá (příklad a další viz samostatná topologie vstupního pole). Problém, díky kterému je nutný zvrat, má v konečném důsledku kořeny ve skutečnosti, že průnik otevřených množin je zaručeně otevřený pouze pro konečně mnoho množin v definici topologie.

Produkty (s topologií produktu) jsou hezké s ohledem na zachování vlastností jejich faktorů; například produkt Hausdorffových prostorů je Hausdorff; produkt propojených prostorů je spojen a produkt kompaktních prostorů je kompaktní. Ten poslední zavolal Tychonoffova věta, je další rovnocennost s axiom volby.

Další vlastnosti a ekvivalentní formulace najdete v samostatné položce topologie produktu.

Přímý produkt binárních vztahů

Na kartézském součinu dvou sad s binární vztahy R a S, definujte (A, b) T (C, d) tak jako ARC a bSd. Pokud jsou R i S obě reflexní, nereagující, tranzitivní, symetrický nebo antisymetrický, pak bude i T.^[3] Z kombinace vlastností vyplývá, že to platí i pro bytí a předobjednávka a být vztah ekvivalence. Pokud však R a S jsou celkové vztahy, T není obecně celkem.

Přímý produkt v univerzální algebře

Pokud je Σ fixní podpis, Já je libovolná (možná nekonečná) sada indexů a (A_i)_i∈Já je indexovaná rodina Σ algeber, přímý produkt A = ∏_i∈Já A_i je Σ algebra definovaná takto:

Vesmír zapadl A z A je karteziánský součin sad vesmíru A_i z A_i, formálně: A = ∏_i∈Já A_i;
Pro každého n a každý n-ary symbol operace F ∈ Σ, jeho výklad F^A v A je definováno po částech, formálně: pro všechny A₁, ..., A_n ∈ A a každý i ∈ Já, ith složka F^A(A₁, ..., A_n) je definován jako F^A_i(A₁(i), ..., A_n(i)).

Pro každého i ∈ Já, ith projekce π_i : A → A_i je definováno π_i(A) = A(i). Je to surjektivní homomorfismus mezi Σ algebry A a A_i.^[4]

Jako zvláštní případ, pokud je nastaven index Já = { 1, 2 }, přímý produkt dvou Σ algeber A₁ a A₂ je získán, zapsán jako A = A₁ × A₂. Pokud Σ obsahuje pouze jednu binární operaci F, výše definice přímého součinu skupin je získána pomocí notace A₁ = G, A₂ = H, F^A₁ = ∘, F^A₂ = ∙, a F^A = ×. Podobně je zde zahrnuta definice přímého produktu modulů.

Kategorie produktu

Přímý produkt lze abstrahovat libovolně kategorie. V obecné kategorii je dána sbírka předmětů A_i a sbírka morfismy str_i z A na A_i^{[je zapotřebí objasnění ]} s i pohybující se v nějaké sadě indexů Já, objekt A se říká, že je kategorický produkt v kategorii if pro jakýkoli objekt B a jakoukoli sbírku morfismů F_i z B na A_iexistuje jedinečný morfismus F z B na A takhle F_i = str_i F a tento objekt A je jedinečný. To funguje nejen pro dva faktory, ale libovolně (i nekonečně) mnoho.

Pro skupiny podobně definujeme přímý produkt obecnější, libovolné kolekce skupin G_i pro i v Já, Já sada indexů. Označujeme kartézský součin skupin podle G definujeme násobení na G s operací multiplikace po částech; a odpovídající str_i ve výše uvedené definici jsou projekční mapy

{ displaystyle pi _ {i} dvojtečka G až G_ {i} quad mathrm {by} quad pi _ {i} (g) = g_ {i}}

,

funkce, které berou ${ displaystyle (g_ {j}) _ {j v I}}$ k jeho ith složka G_i.

Interní a externí přímý produkt

Někteří autoři rozlišují mezi interní přímý produkt a externí přímý produkt. Li ${ displaystyle A, B podmnožina X}$ a ${ displaystyle A times B cong X}$ , pak to říkáme X je vnitřní přímý produkt A a B, zatímco pokud A a B nejsou podobjekty, pak říkáme, že se jedná o externí přímý produkt.

Metrické a normální

Metriku na kartézském součinu metrických prostorů a normu na přímém součinu normovaných vektorových prostorů lze definovat různými způsoby, viz například p-norma.

Viz také

Poznámky

^ W., Weisstein, Eric. „Přímý produkt“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-02-10.
^ W., Weisstein, Eric. „Skupinový přímý produkt“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-02-10.
^ Rovnocennost a řád
^ Stanley N. Burris a H.P. Sankappanavar, 1981. Kurz univerzální algebry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Zde: Def. 7.8, str. 53 (= str. 67 v souboru PDF)

Reference

Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556

[1] W., Weisstein, Eric. „Přímý produkt“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-02-10.

[2] W., Weisstein, Eric. „Skupinový přímý produkt“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-02-10.

[3] Rovnocennost a řád

[4] Stanley N. Burris a H.P. Sankappanavar, 1981. Kurz univerzální algebry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Zde: Def. 7.8, str. 53 (= str. 67 v souboru PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]