Hilbertsova věta - Hilberts basis theorem - Wikipedia

v matematika konkrétně komutativní algebra, Hilbertova základní věta říká, že a polynomiální kruh přes Noetherian ring je Noetherian.

Prohlášení

Li ${ displaystyle R}$ je prsten, pojďme ${ displaystyle R [X]}$ označit prstenec polynomů v neurčitém ${ displaystyle X}$ přes ${ displaystyle R}$. Hilbert dokázal, že pokud ${ displaystyle R}$ není „příliš velký“ v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle R}$ je Noetherian, totéž musí platit pro ${ displaystyle R [X]}$. Formálně,

Hilbertova bazická věta. Li ${ displaystyle R}$ je tedy noetherovský prsten ${ displaystyle R [X]}$ je noetherovský prsten.

Důsledek. Li ${ displaystyle R}$ je tedy noetherovský prsten ${ displaystyle R [X_ {1}, dotsc, X_ {n}]}$ je noetherovský prsten.

To lze přeložit do algebraická geometrie takto: každý algebraická množina nad polem lze popsat soubor společných kořenů konečně mnoha polynomiálních rovnic. Hilbert  (1890 ) dokázal teorém (pro speciální případ polynomiálních prstenců nad polem) v průběhu důkazu o konečné generaci prstenů invariants.

Hilbert vytvořil inovativní důkaz pomocí rozporů matematická indukce; jeho metoda nedává algoritmus vytvořit konečně mnoho základních polynomů pro daný ideál: ukazuje to jen to, že musí existovat. Lze určit základní polynomy pomocí metody Gröbnerovy základny.

Důkaz

Teorém. Li ${ displaystyle R}$ je levá (resp. pravá) Noetherian ring, pak polynomiální kruh ${ displaystyle R [X]}$ je také levý (resp. pravý) noetherovský prsten.

Poznámka. Dáme dva důkazy, v obou případech se bude brát v úvahu pouze „levý“ případ; důkaz pro správný případ je podobný.

První důkaz

Předpokládat ${ displaystyle { mathfrak {a}} subseteq R [X]}$ je konečně generovaný levý ideál. Pak rekurzí (pomocí axiom závislé volby ) existuje sekvence ${ displaystyle {f_ {0}, f_ {1}, ldots }}$ polynomů tak, že pokud ${ displaystyle { mathfrak {b}} _ {n}}$ je levý ideál generovaný ${ displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {n-1}}$ pak ${ displaystyle f_ {n} in { mathfrak {a}} setminus { mathfrak {b}} _ {n}}$ je minimálního stupně. Je jasné že ${ displaystyle { deg (f_ {0}), deg (f_ {1}), ldots }}$ je neklesající sekvence přirozených. Nechat ${ displaystyle a_ {n}}$ být hlavním koeficientem ${ displaystyle f_ {n}}$ a nechte ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ být levým ideálem ${ displaystyle R}$ generováno uživatelem ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ldots}$. Od té doby ${ displaystyle R}$ je Noetherian řetěz ideálů

${ displaystyle (a_ {0}) podmnožina (a_ {0}, a_ {1}) podmnožina (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}) podmnožina cdots}$

musí ukončit. Tím pádem ${ displaystyle { mathfrak {b}} = (a_ {0}, ldots, a_ {N-1})}$ pro celé číslo ${ displaystyle N}$. Takže zejména

${ displaystyle a_ {N} = součet _ {i$

Nyní zvažte

${ displaystyle g = sum _ {i$

jehož vedoucí období se rovná termínu ${ displaystyle f_ {N}}$; navíc, ${ displaystyle g in { mathfrak {b}} _ {N}}$. Nicméně, ${ displaystyle f_ {N} notin { mathfrak {b}} _ {N}}$, což znamená, že ${ displaystyle f_ {N} -g in { mathfrak {a}} setminus { mathfrak {b}} _ {N}}$ má stupeň menší než ${ displaystyle f_ {N}}$, což je v rozporu s minimem.

Druhý důkaz

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {a}} subseteq R [X]}$ být levicovým ideálem. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ být souborem předstihových koeficientů členů ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$. To je samozřejmě levý ideál ${ displaystyle R}$, a tak je definitivně generováno předními koeficienty konečně mnoha členů ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$; říci ${ displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {N-1}}$. Nechat ${ displaystyle d}$ být maximem množiny ${ displaystyle { deg (f_ {0}), ldots, deg (f_ {N-1}) }}$a nechte ${ displaystyle { mathfrak {b}} _ {k}}$ být souborem předstihových koeficientů členů ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$, jehož titul je ${ displaystyle {} leq k}$. Stejně jako dříve, ${ displaystyle { mathfrak {b}} _ {k}}$ jsou zbylé ideály ${ displaystyle R}$, a tak jsou definitivně generovány vedoucími koeficienty konečně mnoha členů ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$, řekněme

${ displaystyle f_ {0} ^ {(k)}, ldots, f_ {N ^ {(k)} - 1} ^ {(k)}}$

se stupni ${ displaystyle {} leq k}$. Tak teď ${ displaystyle { mathfrak {a}} ^ {*} subseteq R [X]}$ být levý ideál generovaný:

${ displaystyle left {f_ {i}, f_ {j} ^ {(k)} : i$

My máme ${ displaystyle { mathfrak {a}} ^ {*} subseteq { mathfrak {a}}}$ a také nárok ${ displaystyle { mathfrak {a}} subseteq { mathfrak {a}} ^ {*}}$. Předpokládejme, že to není v rozporu. Pak nechte ${ displaystyle h in { mathfrak {a}} setminus { mathfrak {a}} ^ {*}}$ být minimálního stupně a označit jeho vedoucí koeficient koeficientem ${ displaystyle a}$.

Případ 1: ${ displaystyle deg (h) geq d}$. Bez ohledu na tento stav máme ${ displaystyle a in { mathfrak {b}}}$, tak je levá lineární kombinace

${ displaystyle a = suma _ {j} u_ {j} a_ {j}}$

koeficientů ${ displaystyle f_ {j}}$. Zvážit

${ displaystyle h_ {0} triangleq sum _ {j} u_ {j} X ^ { deg (h) - deg (f_ {j})} f_ {j},}$

který má stejný vedoucí termín jako ${ displaystyle h}$; navíc ${ displaystyle h_ {0} in { mathfrak {a}} ^ {*}}$ zatímco ${ displaystyle h notin { mathfrak {a}} ^ {*}}$. Proto ${ displaystyle h-h_ {0} in { mathfrak {a}} setminus { mathfrak {a}} ^ {*}}$ a ${ displaystyle deg (h-h_ {0}) < deg (h)}$, což je v rozporu s minimem.

Případ 2: ${ displaystyle deg (h) = k$. Pak ${ displaystyle a in { mathfrak {b}} _ {k}}$ taková je i kombinace lineární vlevo

${ displaystyle a = sum _ {j} u_ {j} a_ {j} ^ {(k)}}$

z hlavních koeficientů ${ displaystyle f_ {j} ^ {(k)}}$. S ohledem na

${ displaystyle h_ {0} triangleq sum _ {j} u_ {j} X ^ { deg (h) - deg (f_ {j} ^ {(k)})} f_ {j} ^ {( k)},}$

přinášíme podobný rozpor jako v případě 1.

Naše tvrzení tedy platí a ${ displaystyle { mathfrak {a}} = { mathfrak {a}} ^ {*}}$ který je definitivně generován.

Všimněte si, že jediným důvodem, proč jsme se museli rozdělit na dva případy, bylo zajistit, aby pravomoci ${ displaystyle X}$ znásobení faktorů bylo v konstrukcích nezáporné.

Aplikace

Nechat ${ displaystyle R}$ být noetherianským komutativním kruhem. Hilbertova základní věta má nějaké bezprostřední důsledky.

1. Indukcí to vidíme ${ displaystyle R [X_ {0}, dotsc, X_ {n-1}]}$ bude také Noetherian.
2. Protože jakýkoli afinní odrůda přes ${ displaystyle R ^ {n}}$ (tj. lokusová množina kolekce polynomů) lze zapsat jako lokus ideálu ${ displaystyle { mathfrak {a}} podmnožina R [X_ {0}, dotsc, X_ {n-1}]}$ a dále jako lokus jeho generátorů vyplývá, že každá afinní odrůda je lokusem konečně mnoha polynomů - tj. průnikem konečně mnoha hyperplochy.
3. Li ${ displaystyle A}$ je konečně vygenerovaný ${ displaystyle R}$-algebra, pak to víme ${ displaystyle A simeq R [X_ {0}, dotsc, X_ {n-1}] / { mathfrak {a}}}$, kde ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ je ideální. Věta o základu to naznačuje ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ musí být definitivně generovány, řekněme ${ displaystyle { mathfrak {a}} = (p_ {0}, dotsc, p_ {N-1})}$, tj. ${ displaystyle A}$ je konečně představen.

Formální důkazy

Formální důkazy o Hilbertově teorému o základu byly ověřeny prostřednictvím Projekt Mizar (vidět Soubor HILBASIS ) a Opírat se (vidět ring_theory.polynomial ).

Reference

• Cox, Little a O'Shea, Ideály, odrůdy a algoritmySpringer-Verlag, 1997.
• Hilbert, David (1890), „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“, Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, doi:10.1007 / BF01208503, ISSN  0025-5831