Artinian modul - Artinian module

v abstraktní algebra, an Artinian modul je modul který uspokojuje sestupný stav řetězu na jeho posetu podmodulů. Jsou pro moduly co Artinian prsteny jsou pro prsteny a prsten je Artinian právě tehdy, pokud se jedná o Artinianův modul nad sebou (s levým nebo pravým násobením). Oba pojmy jsou pojmenovány pro Emil Artin.

Za přítomnosti axiom volby, sestupná podmínka řetězce se stane ekvivalentní s minimální podmínka, a proto je lze místo toho použít v definici.

Jako Noetherian moduly, Artinianské moduly mají následující vlastnost dědičnosti:

Li M je Artinian R-module, pak také jakýkoli submodul a jakýkoli kvocient z M.

Konverzace také platí:

Li M je jakýkoli R modul a N jakýkoli artinuánský submodul takový M/N je tedy Artinian M je Artinian.

Důsledkem toho je, že jakýkoli konečně vygenerovaný modul přes Artinianův prsten je Artinian.^[1] Protože Artinianův prsten je také a Noetherian ring a konečně generované moduly přes Noetherian ring jsou Noetherian,^[1] je pravda, že pro artinianský prsten R, jakýkoli konečně vygenerovaný R-module je jak Noetherian, tak Artinian, a říká se, že je z konečná délka; pokud však R není Artinian, nebo pokud M není definitivně generován, existují protiklady.

Levý a pravý Artinian prsten, modul a bimodul

Prsten R lze považovat za pravý modul, kde akce je přirozená daná kruhovým násobením vpravo. R se nazývá správně Artinian když tento správný modul R je modul Artinian. Definice „levého Artinianova kruhu“ se provádí analogicky. U nekomutativních prstenů je toto rozlišení nutné, protože je možné, aby prsten byl Artinian pouze na jedné straně.

Levo-pravá přídavná jména nejsou obvykle pro moduly nutná, protože modul M je obvykle uveden jako levý nebo pravý R modul hned na začátku. Je však možné, že M může mít levou i pravou stranu R struktura modulu a poté volání M Artinian je nejednoznačný a je nutné objasnit, která struktura modulů je Artinian. K oddělení vlastností těchto dvou struktur lze zneužít terminologii a odkazovat se na M jako levý Artinian nebo pravý Artinian, když, přísně vzato, je správné to říci M, s jeho levou R- struktura modulu, je Artinian.

Výskyt modulů s levou a pravou strukturou není neobvyklý: například R sám má levou a pravou stranu R struktura modulu. Ve skutečnosti se jedná o příklad a bimodul, a to může být možné pro abelianskou skupinu M být vyroben do leviceR, že jo-S bimodul pro jiný prsten S. Ve skutečnosti pro jakýkoli správný modul M, je to automaticky levý modul přes kruh celých čísel Z, a navíc je Z-R bimodul. Zvažte například racionální čísla Q jako Z-Q bimodul přirozeným způsobem. Pak Q není Artinian jako levice Z modul, ale je to Artinian jako právo Q modul.

Artinianův stav lze definovat také na bimodulárních strukturách: an Artinianský bimodul je bimodul jehož poset sub-bimodulů splňuje sestupnou podmínku řetězce. Vzhledem k tomu, sub-bimodule z R-S bimodul M je tím spíše levice R-modul, pokud M považováno za levici R modul pak byli Artinian M je automaticky artiniánský bimodul. Může se však stát, že bimodul je Artinian, aniž by jeho levá nebo pravá struktura byla Artinian, jak ukáže následující příklad.

Příklad: Je dobře známo, že a jednoduchý prsten je ponechán Artinian právě tehdy, je-li pravý Artinian, v takovém případě se jedná o a polojednoduchý prsten. Nechat R být jednoduchý prsten, který není správný Artinian. Pak to také není ponecháno Artinian. S ohledem na R jako R-R bimodul přirozeným způsobem, jeho dílčí bimoduly jsou přesně ty ideály z R. Od té doby R je jednoduchý, existují pouze dva: R a nulový ideál. Tedy bimodul R je Artinian jako bimodul, ale ne Artinian jako levý nebo pravý R- modul nad sebou.

Vztah k noetherianskému stavu

Na rozdíl od prstenů existují moduly Artinian, které nejsou Noetherian moduly. Zvažte například str- primární složka ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ , to je ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p] / mathbb {Z}}$ , který je isomorfní s str-kvazicyklická skupina ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ , považováno za ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -modul. Řetěz ${ Displaystyle langle 1 / p rangle podmnožina langle 1 / p ^ {2} rangle podmnožina langle 1 / p ^ {3} rangle podmnožina cdots}$ nekončí, takže ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ (a proto ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ ) není Noetherian. Přesto každý sestupný řetězec (bez ztráty obecnosti) správných submodulů končí: Každý takový řetězec má formu ${ displaystyle langle 1 / n_ {1} rangle supseteq langle 1 / n_ {2} rangle supseteq langle 1 / n_ {3} rangle supseteq cdots}$ pro některá celá čísla ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ldots}$ a zahrnutí ${ displaystyle langle 1 / n_ {i + 1} rangle subseteq langle 1 / n_ {i} rangle}$ to naznačuje ${ displaystyle n_ {i + 1}}$ musí se rozdělit ${ displaystyle n_ {i}}$ . Tak ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ldots}$ je klesající posloupnost kladných celých čísel. Sekvence tedy končí, takže ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ Artinian.

Přes komutativní kruh je každý cyklický modul Artinian také Noetherian, ale nad nekomutativními kruhy mohou mít cyklické moduly Artinian nespočet délka jak je uvedeno v článku Hartley a pěkně shrnuto v Paul Cohn článek věnovaný Hartleyho paměti.

Dalším relevantním výsledkem je Věta Akizuki – Hopkins – Levitzki, který uvádí, že artinianské a noetherovské podmínky jsou ekvivalentní pro moduly nad poloprimárním kruhem.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Lam (2001), Návrh 1.21, s. 19.

Reference

Atiyah, M.F.; Macdonald, I.G. (1969). „Kapitola 6. Podmínky řetězu; Kapitola 8. Artinovy kroužky“. Úvod do komutativní algebry. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
Cohn, P.M. (1997). "Cyklické Artinianovy moduly bez řady skladeb". J. London Math. Soc. Řada 2. 55 (2): 231–235. doi:10.1112 / S0024610797004912. PAN 1438626.
Hartley, B. (1977). Msgstr "Nespočetné moduly Artinian a nespočetné rozpustné skupiny splňující Min-n". Proc. London Math. Soc. Řada 3. 35 (1): 55–75. doi:10,1112 / plms / s3-35,1,55. PAN 0442091.
Lam, T.Y. (2001). „Kapitola 1. Wedderburn-Artinova teorie“. První kurz v nekomutativních kruzích. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0.

[Lam-19-1] A ^b Lam (2001), Návrh 1.21, s. 19.

[1]