Levitzkyova věta - Levitzkys theorem - Wikipedia

v matematika, konkrétněji teorie prstenů a teorie žádné ideály, Levitzkyho věta, pojmenoval podle Jacob Levitzki, uvádí, že v právu Noetherian ring, každý nulový jednostranný ideál je nutně nilpotentní.[1][2] Levitzkyho věta je jedním z mnoha výsledků naznačujících věrohodnost Köthe dohad, a skutečně poskytl řešení jedné z otázek Köthe popsaných v (Levitzki 1945 ). Výsledek byl původně předložen v roce 1939 jako (Levitzki 1950 ) a zvlášť jednoduchý důkaz byl uveden v (Utumi 1963 ).

Důkaz

Toto je Utumiho argument, jak se objevuje v (Lam 2001, str. 164-165)

Lemma[3]

Předpokládat, že R uspokojuje vzestupný stav řetězu na anihilátory formuláře kde A je v R. Pak

  1. Jakýkoli nulový jednostranný ideál je obsažen v nižším nulovém radikálu Nil*(R);
  2. Každý nenulový nulový pravý ideál obsahuje nenulový nilpotentní pravý ideál.
  3. Každý nenulový nulový levý ideál obsahuje nenulovou nilpotentní levou ideál.
Levitzkiho věta [4]

Nechat R být správným netherianským prstenem. Pak každý nulový jednostranný ideál R je nilpotentní. V tomto případě jsou horní a dolní nilradikály stejné a navíc tento ideál je největším nilpotentním ideálem mezi nilpotentními pravými ideály a mezi nilpotentními levými ideály.

Důkaz: S ohledem na předchozí lemma stačí ukázat, že nižší nilradikál z R je nilpotentní. Protože R má pravdu Noetherian, maximální nilpotentní ideál N existuje. Maximalitou N, kvocient kvocientu R/N nemá žádné nenulové nilpotentní ideály, takže R/N je semiprime prsten. Jako výsledek, N obsahuje dolní nilradikál z R. Protože dolní nilradikál obsahuje všechny nilpotentní ideály, obsahuje také Na tak N se rovná dolní nilradikálu. Q.E.D.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Herstein 1968, str. 37, Věta 1.4.5
  2. ^ Isaacs 1993, str. 210, Věta 14.38
  3. ^ Lam 2001, Lemma 10.29.
  4. ^ Lam 2001, Věta 10.30.

Reference

  • Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, postgraduální kurz (1. vyd.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
  • Herstein, I.N. (1968), Nezávazné prsteny (1. vyd.), The Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-015-X
  • Lam, T.Y. (2001), První kurz v nekomutativních kroužcích, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95183-6
  • Levitzki, J. (1950), „Na multiplikativních systémech“, Compositio Mathematica, 8: 76–80, PAN  0033799.
  • Levitzki, Jakob (1945), „Řešení problému G. Koetheho“, American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 67 (3): 437–442, doi:10.2307/2371958, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371958, PAN  0012269
  • Utumi, Yuzo (1963), „Matematické poznámky: Levitzkiho věta“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 70 (3): 286, doi:10.2307/2313127, hdl:10338.dmlcz / 101274, ISSN  0002-9890, JSTOR  2313127, PAN  1532056