Frobeniova vzájemnost - Frobenius reciprocity
v matematika, a zejména teorie reprezentace, Frobeniova vzájemnost je věta vyjadřující a dualita mezi procesem omezující a indukční. Lze jej využít k získání znalostí o reprezentacích podskupiny k nalezení a klasifikaci reprezentací „velkých“ skupin, které je obsahují. Je pojmenován pro Ferdinand Georg Frobenius, vynálezce teorie reprezentace konečných grup.
Prohlášení
Teorie znaků
Věta byla původně uvedena ve smyslu teorie znaků. Nechat G být konečný skupina s podskupina H, nechť označují omezení postavy, nebo obecněji funkce třídy z G na Ha nechte označit funkce indukované třídy dané funkce třídy na H. Pro jakoukoli konečnou skupinu A, tady je vnitřní produkt na vektorový prostor třídních funkcí (podrobně popsáno v článku Schurovy ortogonální vztahy ). Nyní pro všechny funkce třídy a platí následující rovnost:
Jinými slovy, a jsou Hermitian adjoint.
Důkaz reciprocity Frobenius pro funkce třídy |
---|
Nechat a být třídními funkcemi. Důkaz. Každá funkce třídy může být zapsána jako lineární kombinace neredukovatelných postav. Tak jako je bilineární forma, můžeme, bez ztráty obecnosti, předpokládat a být znaky neredukovatelných reprezentací v a ze dne v Definujeme pro všechny Pak máme V průběhu této posloupnosti rovnic jsme použili pouze definici indukce na třídních funkcích a vlastnosti znaků. Alternativní důkaz. Z hlediska skupinové algebry, tj. Alternativním popisem indukované reprezentace, je Frobeniova vzájemnost zvláštním případem obecné rovnice pro změnu prstenů: Tato rovnice je ze své podstaty ekvivalentní s Protože tato bilineární forma odpovídá bilineární formě na odpovídající znaky, následuje věta bez výpočtu. |
Teorie modulů
Jak je vysvětleno v části Teorie reprezentace konečných skupin # Reprezentace, moduly a konvoluční algebra, teorie reprezentací skupiny G přes pole K. je v určitém smyslu ekvivalentní teorii moduly přes skupinová algebra K.[G].[3] Proto existuje odpovídající Frobeniova věta o vzájemnosti pro K.[G] -moduly.
Nechat G být skupinou s podskupinou H, nechť M být H-modul a nechte N být G-modul. V jazyce teorie modulů indukovaný modul odpovídá indukovanému zobrazení vzhledem k tomu, že omezení skalárů odpovídá omezení . Proto je prohlášení následující: Následující sady homomorfismů modulů jsou v bijektivní korespondenci:
Jak je uvedeno níže v části o teorii kategorií, tento výsledek se týká modulů přes všechny prstence, nejen modulů přes skupinové algebry.
Teorie kategorií
Nechat G být skupinou s podskupinou Ha nechte být definován jak je uvedeno výše. Pro jakoukoli skupinu A a pole K. nechat označit kategorie lineárních reprezentací A přes K.. Tady je zapomnětlivý funktor
Tento funktor funguje jako identita na morfismy. V opačném směru jde funktor:
Tyto funktory tvoří adjunkční pár .[6][7] V případě konečných skupin jsou ve skutečnosti vzájemně levé i pravé. Toto doplnění vede k a univerzální vlastnictví pro indukovanou reprezentaci (podrobnosti viz Indukované vyjádření # Vlastnosti ).
V jazyce teorie modulů je odpovídající adjunkce instancí obecnější vztah mezi omezením a rozšířením skalárů.
Viz také
- Vidět Omezené zastoupení a Vyvolané zastoupení pro definice procesů, na které se tato věta vztahuje.
- Vidět Teorie reprezentace konečných grup pro široký přehled tématu skupinových reprezentací.
- Vidět Selbergův stopový vzorec a Arthur-Selbergova stopová formule pro zobecnění k diskrétním kofinitním podskupinám určitých lokálně kompaktních skupin.
Poznámky
- ^ Serre 1977, str. 56.
- ^ Sengupta 2012, str. 246.
- ^ Konkrétně existuje izomorfismus kategorií mezi K.[G] -Mod a RepGK., jak je popsáno na stránkách Izomorfismus kategorií # Kategorie reprezentací a Teorie reprezentace konečných skupin # Reprezentace, moduly a konvoluční algebra.
- ^ James, Gordon Douglas (1945–2001). Zastoupení a znaky skupin. Liebeck, M. W. (Martin W.) (2. vyd.). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN 9780521003926. OCLC 52220683.
- ^ Sengupta 2012, str. 245.
- ^ „Frobeniova vzájemnost na planetmath.org“. planetmath.org. Citováno 2017-11-02.
- ^ "Frobenius reciprocita v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-11-02.
Reference
- Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Lineární reprezentace konečných grup. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385.
- Sengupta, Ambar (2012). Reprezentace konečných skupin: polojednodušý úvod. New York. doi:10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412304. OCLC 769756134.
- Weisstein, Eric. „Vyvolané zastoupení“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2017-11-02.