Halda (matematika) - Heap (mathematics)

v abstraktní algebra, a poloviční je algebraická struktura skládající se z a neprázdný soubor H s ternární provoz označeno ${displaystyle [x, y, z] v H}$ který splňuje upravenou vlastnost asociativity:

${displaystyle forall a, b, c, d, ein H [[a, b, c], d, e] = [a, [d, c, b], e] = [a, b, [c, d ,E]].}$^[1]

A biunitární prvek h polohromady splňuje [h, h, k] = k = [k, h, h] pro každého k v H.^[1]:75,6

A halda je poloviční halda, ve které je každý prvek biunitární.^[1]:80

Termín halda je odvozen z груда, ruštiny pro „haldy“, „hromady“ nebo „stohu“. Anton Sushkevich použil tento výraz ve svém Teorie zobecněných skupin (1937), který ovlivnil Viktor Wagner, vyhlašovatel polohlav, hromad a generalizovaných hromad.^[1]:11 Груда kontrastuje s группа (skupina ) který byl přepsán do ruštiny. Ve skutečnosti byla hromada nazývána a skupina v anglickém textu.^[2])

Příklady

Halda se dvěma prvky

Otáčet se ${displaystyle H = {a, b}}$ do cyklická skupina ${displaystyle C_ {2}}$definováním ${displaystyle a}$ prvek identity a ${displaystyle bb = a}$. Potom vytvoří následující hromadu:

${displaystyle [a, a, a] = a ,, [a, a, b] = b ,, [b, a, a] = b ,, [b, a, b] = a,}$

${displaystyle [a, b, a] = b ,, [a, b, b] = a ,, [b, b, a] = a ,, [b, b, b] = b.}$

Definování ${displaystyle b}$ jako prvek identity a ${displaystyle aa = b}$ dal by stejnou hromadu.

Hromadu celých čísel

Li ${displaystyle x, y, z}$ jsou celá čísla, můžeme nastavit ${displaystyle [x, y, z] = x-y + z}$ vyrobit hromadu. Poté si můžeme vybrat libovolné celé číslo ${displaystyle k}$ být identitou nové skupiny na množině celých čísel s operací ${displaystyle *}$

${displaystyle x * y = x + y-k}$

a inverzní

${displaystyle x ^ {- 1} = 2k-x}$.

Hromada grupoidu se dvěma objekty

Jeden může zobecnit pojem hromady skupiny na případ a grupoid který má dva předměty A a B při pohledu jako kategorie. Prvky haldy lze identifikovat pomocí morfismy od A do B, takže tři morfismy X, y, z definovat operaci haldy podle:

${displaystyle [x, y, z] = xy ^ {- 1} z.}$

To se sníží na hromadu skupiny, pokud je jako identita zvolen konkrétní morfismus mezi dvěma objekty. To intuitivně spojuje popis izomorfismů mezi dvěma objekty jako hromadu a popis izomorfismů mezi více objekty jako grupoid.

Heterogenní vztahy

Nechat A a B být různé sady a ${displaystyle {mathcal {B}} (A, B)}$ sbírka heterogenní vztahy mezi nimi. Pro ${displaystyle p, q, rin {mathcal {B}} (A, B)}$ definovat ternární operátor${displaystyle [p, q, r] = pq ^ {T} r}$ kde q^T je konverzní vztah z q. Výsledek tohoto složení je také v ${displaystyle {mathcal {B}} (A, B)}$ takže ternární operací byla vytvořena matematická struktura.^[3] Viktor Wagner k vytvoření této hromady byl motivován studiem přechodových map v atlas což jsou dílčí funkce.^[4] Hromada je tedy více než vylepšení skupiny: jedná se o obecný koncept zahrnující skupinu jako triviální případ.

Věty

Teorém: Polohromada s biunitárním prvkem E lze považovat za evoluční poloskupina s operací danou ab = [A, E, b] a involuce od A^–1 = [E, A, E].^[1]:76

Teorém: Každá poloviční hromada může být vložena do evoluční poloskupina.^[1]:78

Stejně jako ve studii o poloskupiny, je struktura polohříbů popsána pomocí ideály s „i-simple semiheap“, který je bez správných ideálů. Mustafaeva přeložil Greenovy vztahy teorie semigroup na semiheaps a definoval třídu ρ jako prvky generující stejný princip oboustranný ideál. Poté dokázal, že žádný i-simple semiheap nemůže mít více než dvě třídy ρ.^[5]

Popsal také třídy pravidelnosti polohromady S:

${displaystyle D (m, n) = {uprostřed existuje xin S: a = a ^ {n} xa ^ {m}}}$ kde n a m mít stejné parita a ternární operace semiheap platí nalevo od řetězce z S.

Dokazuje to S může mít maximálně 5 tříd pravidelnosti. Mustafaev volá ideál B "izolované", když ${displaystyle a ^ {n} v Bimplies ain B.}$ Poté dokazuje, že když S = D (2,2), pak je každý ideál izolovaný a naopak.^[6]

Studium poloviny haldy Z (A, B) z heterogenní vztahy mezi sadami A a BV roce 1974 K. A. Zareckii následoval Mustafaevovo vedení a popsal ideální ekvivalenci, třídy pravidelnosti a ideální faktory polohromady.^[7]

Zobecnění a související pojmy

• A pseudoheap nebo pseudogroud splňuje částečnou para-asociativní podmínku^[4]

${displaystyle [[a, b, c], d, e] = [a, b, [c, d, e]].}$^{[pochybný – diskutovat]}

• A Malcev provoz splňuje zákon o totožnosti, ale ne nutně para-asociační zákon,^[8] to je, a ternární provoz ${displaystyle f}$ na setu ${displaystyle X}$ uspokojení identity ${displaystyle f (x, x, y) = f (y, x, x) = y}$.
• A poloviční nebo polokoule je povinen uspokojit pouze para-asociativní právo, ale nemusí se řídit zákonem o totožnosti.^[9]

Příklad semigroudu, který obecně není groudem, je dán M A prsten z matice pevné velikosti s

${displaystyle [x, y, z] = xcdot y ^ {mathrm {T}} cdot z}$

kde • označuje násobení matic a T označuje maticová transpozice.^[9]

• An idempotent semiheap je polohromada, kde ${displaystyle [a, a, a] = a}$ pro všechny A.
• A zobecněná hromada nebo zobecněná skupina je idempotent semiheap kde

${displaystyle [a, a, [b, b, x]] = [b, b, [a, a, x]]}$ a ${displaystyle [[x, a, a], b, b] = [[x, b, b], a, a]}$ pro všechny A a b.

Polokoule je zobecněná skupina, pokud je relace → definována

${displaystyle aightarrow bLeftrightarrow [a, b, a] = a}$

je reflexní (idempotence) a antisymetrický. V generalizované skupině → je objednávkový vztah.^[10]

Viz také

n-arytivní asociativita

Poznámky

Reference

• Anton Sushkevich (1929) „O zevšeobecnění asociativního práva“, Transakce Americké matematické společnosti 31(1): 204–14 doi:10.1090 / S0002-9947-1929-1501476-0 PAN1501476
• Schein, Boris (1979). Msgstr "Inverzní poloskupiny a zobecněné skupiny". V A.F. Lavrik (ed.). Dvanáct článků v logice a algebře. Amer. Matematika. Soc. Transl. 113. Americká matematická společnost. str. 89–182. ISBN  0-8218-3063-5.
• Vagner, V. V. (1968). „O algebraické teorii souřadnicových atlasů, II“. Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anální. (v Rusku). 14: 229–281. PAN  0253970.

externí odkazy

• Odrůda Mal'cev v nLab