Quillen – Suslinova věta - Quillen–Suslin theorem

The Quillen – Suslinova věta, také známý jako Serreho problém nebo Serreova domněnka, je teorém v komutativní algebra týkající se vztahu mezi bezplatné moduly a projektivní moduly přes polynomiální kroužky. V geometrickém nastavení se jedná o tvrzení o trivialitě vektorových svazků v afinním prostoru.

Věta říká, že každý konečně generován projektivní modul přes polynomiální kruh je volný, uvolnit.

Dějiny

Pozadí

Geometricky, konečně generované projektivní moduly přes kruh ${ displaystyle R [x_ {1}, tečky, x_ {n}]}$ odpovídají vektorové svazky přes afinní prostor ${ displaystyle mathbb {A} _ {R} ^ {n}}$, kde volné moduly odpovídají triviálním vektorovým svazkům. Tato korespondence (od modulů po (algebraické) vektorové svazky) je dána funktorem „globalizace“ nebo „twiddlification“, který ${ displaystyle M to { widetilde {M}}}$ (cituje Hartshorne II.5, strana 110). Afinní prostor je topologicky stahovatelný, takže nepřipouští žádné netriviální topologické vektorové svazky. Jednoduchý argument pomocí exponenciální přesná sekvence a d-bar Poincaré lemma ukazuje, že také nepřipouští žádné netriviální svazky holomorfních vektorů.

Jean-Pierre Serre, ve svém příspěvku z roku 1955 Faisceaux algébriques cohérents, poznamenal, že u algebraických vektorových svazků nebyla známa příslušná otázka: „Není známo, zda existují projektivní A-moduly konečného typu, které nejsou volné. "^[1] Tady ${ displaystyle A}$ je polynomiální kruh přes pole, to znamená, ${ displaystyle A}$ = ${ displaystyle k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$.

K Serreovu zděšení se tento problém rychle stal známým jako Serreova domněnka. (Serre napsal: „Namítal jsem co nejčastěji [proti jménu].“)^[2]) Výrok bezprostředně nevyplývá z důkazů poskytnutých v topologickém nebo holomorfním případě. Tyto případy zaručují pouze to, že existuje kontinuální nebo holomorfní bagatelizace, nikoli algebraická bagatelizace.

Serre dosáhl určitého pokroku směrem k řešení v roce 1957, když dokázal, že každý konečně vygenerovaný projektivní modul přes polynomiální kruh přes pole byl stabilně zdarma, což znamená, že po vytvoření přímého součtu s konečně vygenerovaným volným modulem se stal svobodným. Problém zůstal otevřený až do roku 1976, kdy Daniel Quillen a Andrei Suslin nezávisle prokázal výsledek. Quillen byl oceněn Fields Medal v roce 1978 částečně za důkaz Serreho domněnky. Leonid Vaseršteĭn později poskytl jednodušší a mnohem kratší důkaz věty, který lze nalézt v Serge Langově Algebra.

Zobecnění

Zobecnění týkající se projektivních modulů přes běžné noetherovské prsteny A a jejich polynomiální kruhy jsou známé jako Bass-Quillenova domněnka.

Všimněte si, že ačkoli ${ displaystyle GL_ {n}}$- svazky v afinním prostoru jsou triviální, to neplatí pro svazky G, kde G je obecná redukční algebraická skupina.

Poznámky

Reference

• Serre, Jean-Pierre (Březen 1955), „Faisceaux algébriques cohérents“, Annals of Mathematics, Druhá série, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR  1969915, PAN  0068874
• Serre, Jean-Pierre (1958), „Modules projectifs et espaces fibrés à fibre vectorielle“, Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, 1957/58, Fasc. 2, expozice 23 (francouzsky), PAN  0177011
• Quillen, Daniel (1976), „Projektivní moduly přes polynomiální prstence“, Inventiones Mathematicae, 36 (1): 167–171, doi:10.1007 / BF01390008, PAN  0427303
• Suslin, Andrei A. (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободны [Projektivní moduly přes polynomiální prstence jsou zdarma], Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku), 229 (5): 1063–1066, PAN  0469905. Přeloženo v "Projektivní moduly přes polynomiální prstence jsou zdarma", Sovětská matematika, 17 (4): 1160–1164, 1976.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556

Účet k tomuto tématu poskytuje:

• Lam, T. Y. (2006), Serreův problém na projektivních modulech, Springer Monografie z matematiky, Berlín; New York: Springer Science + Business Media, str. 300 stran., ISBN  978-3-540-23317-6, PAN  2235330