Kohomologická dimenze - Cohomological dimension - Wikipedia

v abstraktní algebra, cohomologická dimenze je invariant a skupina který měří homologickou složitost jeho reprezentací. Má důležité aplikace v teorie geometrických skupin, topologie, a algebraická teorie čísel.

Kohomologická dimenze skupiny

Jako většina kohomologických invariantů zahrnuje cohomologická dimenze volbu „prstence koeficientů“ R, s prominentním zvláštním případem daným R = Zprsten celá čísla. Nechat G být diskrétní skupina, R nenulová prsten s jednotkou a RG the skupinové vyzvánění. Skupina G má cohomologická dimenze menší nebo rovna n, označeno cd_R(G) ≤ n, pokud triviální RG-modul R má projektivní rozlišení délky n, tj. existují projektivní RG- moduly P₀, ..., P_n a RG- homomorfismy modulů d_k: P_k${ displaystyle to}$P_k − 1 (k = 1, ..., n) a d₀: P₀${ displaystyle to}$R, takže obraz d_k se shoduje s jádrem d_k − 1 pro k = 1, ..., n a jádro d_n je triviální.

Ekvivalentně je kohomologická dimenze menší nebo stejná n pokud pro libovolné RG-modul M, kohomologie z G s koeficienty v M mizí ve stupních k > n, to znamená, H^k(G,M) = 0 kdykoli k > n. The p-cohomologická dimenze pro prvočíslo p je obdobně definován v podmínkách p-trakční skupiny H^k(G,M){p}.^[1]

Nejmenší n tak, že cohomologická dimenze G je menší nebo rovno n je cohomologická dimenze z G (s koeficienty R), který je označen ${ displaystyle n = operatorname {cd} _ {R} (G)}$.

Zdarma rozlišení ${ displaystyle mathbb {Z}}$ lze získat od a akce zdarma skupiny G na smluvní topologický prostor X. Zejména pokud X je smluvní CW komplex dimenze n s volnou akcí diskrétní skupiny G který tedy permutuje buňky ${ displaystyle operatorname {cd} _ { mathbb {Z}} (G) leq n}$.

Příklady

V první skupině příkladů nechte prsten R koeficientů být ${ displaystyle mathbb {Z}}$.

• A volná skupina má cohomologickou dimenzi jedna. Jak ukazuje John Stallings (pro konečně generovanou skupinu) a Richard Swan (v úplnosti), tato vlastnost charakterizuje volné skupiny. Tento výsledek je znám jako Stallings – Swanova věta.^[2] Věta Stallings-Swan pro skupinu G říká, že G je zdarma právě tehdy, když každý rozšíření od G s abelianským jádrem je rozdělena.^[3]
• The základní skupina a kompaktní, připojeno, orientovatelný Riemannův povrch jiné než koule má cohomologickou dimenzi dva.
• Obecněji řečeno, základní skupina uzavřeného, ​​propojeného, ​​orientovatelného asférický potrubí z dimenze n má cohomologický rozměr n. Zejména základní skupina uzavřeného orientovatelného hyperbolika n-manifold má cohomologický rozměr n.
• Netriviální konečné skupiny mít nekonečný cohomologický rozměr ${ displaystyle mathbb {Z}}$. Obecněji platí totéž pro skupiny s netriviálními kroucení.

Nyní zvažte případ obecného prstenu R.

• Skupina G má cohomologickou dimenzi 0, právě když jeho skupinový kruh RG je polojednoduchý. Konečná skupina má tedy cohomologickou dimenzi 0 právě tehdy, když její řád (nebo ekvivalentní pořadí jeho prvků) je invertibilní v R.
• Zevšeobecnění ustájení - Swanova věta pro ${ displaystyle R = mathbb {Z}}$, Martin Dunwoody dokázal, že skupina má cohomologickou dimenzi nanejvýš na libovolném kruhu R právě když je to základní skupina připojených graf konečných grup jejichž objednávky jsou invertibilní v R.

Kohomologická dimenze pole

The p-cohomologická dimenze pole K. je p-cohomologická dimenze Galoisova skupina a oddělitelný uzávěr z K..^[4] Kohomologická dimenze K. je nadřazenost p-cohomologická dimenze ve všech prvočíslech p.^[5]

Příklady

• Každé pole nenulové charakteristický p má p-cohomologická dimenze maximálně 1.^[6]
• Každé konečné pole má absolutní skupina Galois izomorfní s ${ displaystyle mathbf { hat {Z}}}$ a stejně tak má cohomologickou dimenzi 1.^[7]
• Pole formální Laurentova řada ${ displaystyle k ((t))}$ přes algebraicky uzavřené pole k nenulové charakteristiky má také absolutní Galoisovu skupinu isomorfní s ${ displaystyle mathbf { hat {Z}}}$ a tak cohomologická dimenze 1.^[7]

Viz také

• Domněnka Eilenberg - Ganea
• Skupinová kohomologie
• Globální rozměr

Reference

• Brown, Kenneth S. (1994). Kohomologie skupin. Postgraduální texty z matematiky. 87 (Opravený dotisk původního vydání z roku 1982). New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90688-6. PAN  1324339. Zbl  0584.20036.
• Dicks, Warren (1980). Skupiny, stromy a projektivní moduly. Přednášky z matematiky. 790. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0088140. ISBN  3-540-09974-3. PAN  0584790. Zbl  0427.20016.
• Dydak, Jerzy (2002). "Kohomologická dimenze teorie". V Daverman, R. J. (ed.). Příručka geometrické topologie. Amsterdam: Severní Holandsko. 423–470. ISBN  0-444-82432-4. PAN  1886675. Zbl  0992.55001.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Serre, Jean-Pierre (1997). Galoisova kohomologie. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61990-9. Zbl  0902.12004.
• Shatz, Stephen S. (1972). Nekonečné skupiny, aritmetika a geometrie. Annals of Mathematics Studies. 67. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  0-691-08017-8. PAN  0347778. Zbl  0236.12002.
• Stallings, John R. (1968). "Na torzních skupinách s nekonečně mnoha konci". Annals of Mathematics. Druhá série. 88: 312–334. doi:10.2307/1970577. ISSN  0003-486X. PAN  0228573. Zbl  0238.20036.
• Labuť, Richard G. (1969). Msgstr "Skupiny cohomologické dimenze jedna". Journal of Algebra. 12: 585–610. doi:10.1016/0021-8693(69)90030-1. ISSN  0021-8693. PAN  0240177. Zbl  0188.07001.