Kategorie modulů - Category of modules

v algebra, vzhledem k tomu, prsten R, kategorie levých modulů přes R je kategorie jehož předměty všichni zůstali moduly přes R a jehož morfismy všichni jsou homomorfismy modulu mezi levou R- moduly. Například když R je prsten z celá čísla Z, je to totéž jako kategorie abelianských skupin. The kategorie správných modulů je definován podobným způsobem.

Poznámka: Někteří autoři tento termín používají kategorie modulu pro kategorii modulů. Tento termín může být nejednoznačný, protože by mohl odkazovat také na kategorii s a akce monoidní kategorie.[1]

Vlastnosti

Kategorie levého a pravého modulu jsou abelianské kategorie. Tyto kategorie mají dost projektantů[2] a dost injekcí.[3] Mitchellova věta o vložení uvádí, že každá abelianská kategorie vzniká jako a celá podkategorie kategorie modulů.

Projektivní limity a indukční limity existují v kategoriích levého a pravého modulu.[4]

Přes komutativní prsten společně s tenzorový produkt modulů ⊗, kategorie modulů je a symetrická monoidní kategorie.

Kategorie vektorových prostorů

The kategorie K.-Vect (někteří autoři používají VectK.) má vše vektorové prostory přes pole K. jako objekty a K.-lineární mapy jako morfismy. Od konce vektorových prostorů K. (jako pole) jsou totéž jako moduly přes prsten K., K.-Vect je zvláštní případ R-Mod, kategorie vlevo R- moduly.

Hodně z lineární algebra se týká popisu K.-Vect. Například věta o dimenzi pro vektorové prostory říká, že třídy izomorfismu v K.-Vect přesně odpovídají základní čísla, a to K.-Vect je ekvivalent do podkategorie z K.-Vect který má jako objekty vektorové prostory K.n, kde n je jakékoli základní číslo.

Zobecnění

Kategorie svazky modulů přes prstencový prostor má také dostatek injekčních uživatelů (i když ne vždy dost projektivních).

Viz také

Reference

  1. ^ "kategorie modulu v nLab". ncatlab.org.
  2. ^ triviálně, protože jakýkoli modul je kvocientem volného modulu.
  3. ^ Dummit – Foote, Ch. 10, Věta 38.
  4. ^ Bourbaki, § 6.

externí odkazy