Singulární submodul - Singular submodule

V pobočkách abstraktní algebra známý jako teorie prstenů a teorie modulů, každý pravý (resp. levý) R modul M má singulární submodul skládající se z prvků, jejichž anihilátory jsou nezbytný vpravo (resp. vlevo) ideály v R. V množinové notaci se obvykle označuje jako ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M) = {m v M mid mathrm {ann} (m) subseteq _ {e} R } ,}$. U obecných prstenů ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M)}$ je dobré zobecnění torzní submodul tors (M), který je nejčastěji definován pro domén. V případě, že R je komutativní doména, ${ displaystyle tors (M) = { mathcal {Z}} (M)}$.

Li R je jakýkoli prsten, ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R})}$ je definován s ohledem na R jako pravý modul, a v tomto případě ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R})}$ je oboustranný ideál R volal pravý singulární ideál z R. Podobně levostranný analog ${ displaystyle { mathcal {Z}} (_ {R} R)}$ je definováno. Je možné pro ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R}) neq { mathcal {Z}} (_ {R} R)}$.

Definice

Zde je několik definic používaných při studiu singulárního submodulu a ideálů singulárního typu. V následujícím, M je R modul:

• M se nazývá a singulární modul -li ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M) = M ,}$.
• M se nazývá a nesmyslný modul -li ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M) = {0 } ,}$.
• R je nazýván pravý nesmysl -li ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R}) = {0 } ,}$. A vlevo nesmyslný prsten je definován obdobně pomocí levého singulárního ideálu a je zcela možné, aby prsten byl pravý, ale ne-levý, nesingulární.

U prstenů s jednotou to tak vždy je ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R}) subsetneq R ,}$, a tak „pravý singulární kruh“ není obvykle definován stejným způsobem jako singulární moduly. Někteří autoři používají „singulární prsten“ ve smyslu „má nenulový ideál singulárního čísla“, toto použití však není v souladu s použitím adjektiv pro moduly.

Vlastnosti

Některé obecné vlastnosti singulárního submodulu zahrnují:

• ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M) cdot mathrm {soc} (M) = {0 } ,}$ kde ${ displaystyle mathrm {soc} (M) ,}$ označuje sokl z M.
• Li F je homomorfismus z R moduly od M na N, pak ${ displaystyle f ({ mathcal {Z}} (M)) subseteq { mathcal {Z}} (N) ,}$.
• Li N je submodul M, pak ${ displaystyle { mathcal {Z}} (N) = N cap { mathcal {Z}} (M) ,}$.
• Vlastnosti „singulární“ a „nonsingulární“ jsou Morita neměnné vlastnosti.
• Singulární ideály prstenu obsahují ústřední nilpotentní prvky prstenu. V důsledku toho singulární ideál komutativního kruhu obsahuje nilradikální prstenu.
• Obecnou vlastností torzního submodulu je to ${ displaystyle t (M / t (M)) = {0 } ,}$, ale to nemusí nutně platit pro singulární submodul. Pokud však R je tedy pravý nesingulární prsten ${ displaystyle { mathcal {Z}} (M / { mathcal {Z}} (M)) = {0 } ,}$.
• Li N je základním submodulem M (oba pravé moduly) M/N je singulární. Li M je bezplatný modul, nebo když R je pravý nesmyslný, pak je obrácený pravdivý.
• A polojediný modul je nonsingular právě tehdy, pokud jde o projektivní modul.
• Li R je právo samoinjekční kroužek, pak ${ displaystyle { mathcal {Z}} (R_ {R}) = J (R) ,}$, kde J (R) je Jacobson radikální z R.

Příklady

Pravé nesingulární kruhy jsou velmi široké třídy, včetně redukované kroužky, že jo (polo) dědičné prsteny, von Neumannovy pravidelné prsteny, domén, polojednoduché kroužky, Baerovy kroužky a správně Rickart zazvoní.

U komutativních prstenů je bytí nonsingular ekvivalentní redukovanému kruhu.

Důležité věty

Johnsonova věta (kvůli R. E. Johnsonovi (Lam 1999, str. 376)) obsahuje několik důležitých rovnocenností. Pro jakýkoli prsten R, ekvivalentní jsou následující:

1. R má pravdu nesmysl.
2. The injekční trup E(R_R) je nesmluvní právo R modul.
3. Endomorfismus prsten ${ displaystyle S = mathrm {End} (E (R_ {R})) ,}$ je poloprimitivní prsten (to znamená, ${ displaystyle J (S) = {0 } ,}$).
4. The maximální pravý kroužek kvocientů ${ displaystyle Q_ {max} ^ {r} (R)}$ je von Neumann pravidelný.

Pravá nesmyslnost má silnou interakci také s pravými samoinjekčními kroužky.

Teorém: Li R je pravý samoinjekční kroužek, pak jsou splněny následující podmínky R jsou ekvivalentní: pravý nonsingular, von Neumann pravidelný, pravý semihereditary, pravý Rickart, Baer, ​​semiprimitive. (Lam 1999, str. 262)

Papír (Zelmanowitz 1983 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFZelmanowitz1983 (Pomoc) použité nesingulární moduly k charakterizaci třídy kruhů, jejichž maximální pravý kruh kvocientů má určitou strukturu.

Teorém: Li R je tedy prsten ${ displaystyle Q_ {max} ^ {r} (R)}$ je právo plný lineární prsten kdyby a jen kdyby R má nonsingular, věřící, jednotný modul. Navíc, ${ displaystyle Q_ {max} ^ {r} (R)}$ je konečný přímý produkt plných lineárních prstenů právě tehdy R má nesmyslný, věrný modul s konečnými jednotný rozměr.

Učebnice

• Goodearl, K. R. (1976), Teorie prstenů: Ningingular prsteny a modulyČistá a aplikovaná matematika, č. 33, New York: Marcel Dekker Inc., s. Viii + 206, PAN  0429962
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, PAN  1653294

Primární zdroje

• Zelmanowitz, J. M. (1983), „Struktura prstenů s věrnými nesingulárními moduly“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 278 (1): 347–359, doi:10.2307/1999320, ISSN  0002-9947, PAN  0697079