Algebraické rozšíření - Algebraic extension
tento článek potřebuje další citace pro ověření.únor 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v abstraktní algebra, a rozšíření pole L/K. je nazýván algebraický pokud každý prvek L je algebraický přes K., tj. pokud každý prvek L je vykořenit nenulové polynomiální s koeficienty v K.. Rozšíření polí, která nejsou algebraická, tj. Která obsahují transcendentální prvky, jsou nazývány transcendentální.
Například rozšíření pole R/Q, to je obor reálná čísla jako rozšíření pole racionální čísla, je transcendentální, zatímco rozšíření pole C/R a Q(√2)/Q jsou algebraické, kde C je obor komplexní čísla.
Všechny transcendentální rozšíření jsou z nekonečný stupeň. To zase znamená, že všechna konečná rozšíření jsou algebraická.[1] Opak však není pravdivý: existují nekonečná rozšíření, která jsou algebraická. Například pole všech algebraická čísla je nekonečné algebraické rozšíření racionálních čísel.
Li A je algebraické K., pak K.[A], množina všech polynomů v A s koeficienty v K., není jen prsten, ale také pole: algebraické rozšíření K. který má konečný stupeň přes K.. Rovnice platí také, pokud K.[A] je tedy pole A je algebraické K.. Ve zvláštním případě, kdy K. = Q je pole racionálních čísel, Q[A] je příkladem algebraické číslo pole.
Volá se pole bez správných algebraických přípon algebraicky uzavřeno. Příkladem je pole komplexní čísla. Každé pole má algebraickou příponu, která je algebraicky uzavřena (nazývá se její algebraické uzavření ), ale prokazování toho obecně vyžaduje určitou formu axiom volby.
Rozšíření L/K. je algebraické kdyby a jen kdyby každý sub K.-algebra z L je pole.
Vlastnosti
Třída algebraických rozšíření tvoří a rozlišující třída rozšíření pole, to znamená, že platí následující tři vlastnosti:[2]
- Li E je algebraické rozšíření F a F je algebraické rozšíření K. pak E je algebraické rozšíření K..
- Li E a F jsou algebraická rozšíření K. ve společném poli C, pak compositum EF je algebraické rozšíření K..
- Li E je algebraické rozšíření F a E>K.>F pak E je algebraické rozšíření K..
Tyto konečné výsledky lze zobecnit pomocí transfinitní indukce:
- Spojení libovolného řetězce algebraických rozšíření přes základní pole je samo o sobě algebraickým rozšířením přes stejné základní pole.
Tato skutečnost spolu s Zornovo lemma (aplikováno na vhodně zvolenou posetu), potvrzuje existenci algebraické uzávěry.
Zobecnění
Teorie modelů zobecňuje pojem algebraického rozšíření na libovolné teorie: an vkládání z M do N se nazývá algebraické rozšíření pokud pro každého X v N tady je vzorec p s parametry v M, takový, že p(X) je pravda a množina
je konečný. Ukazuje se, že použití této definice na teorii polí poskytuje obvyklou definici algebraického rozšíření. The Galoisova skupina z N přes M lze opět definovat jako skupina z automorfismy Ukazuje se, že většinu teorie Galoisových skupin lze vyvinout pro obecný případ.
Viz také
Poznámky
Reference
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadežda Michajlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebry, prsteny a moduly, 1Springer, ISBN 1-4020-2690-0
- Lang, Serge (1993), "V.1: Algebraic Extensions", Algebra (Třetí vydání.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, str. ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- McCarthy, Paul J. (1991) [opravený dotisk 2. vydání, 1976], Algebraické rozšíření polí, New York: Publikace Dover, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
- Roman, Steven (1995), Teorie pole, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
- Rotman, Joseph J. (2002), Pokročilá moderní algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687