Omezené zastoupení - Restricted representation

v teorie skupin, omezení tvoří a zastoupení a podskupina pomocí známé reprezentace celku skupina. Omezení je základní konstrukcí v teorii reprezentace skupin. Omezené zastoupení je často srozumitelnější. Pravidla pro rozklad omezení neredukovatelné zastoupení do neredukovatelných reprezentací podskupiny se nazývají pravidla větvení a mají důležité aplikace v fyzika. Například v případě explicitní porušení symetrie, skupina symetrie problému se sníží z celé skupiny do jedné z jejích podskupin. v kvantová mechanika, toto snížení symetrie se jeví jako rozdělení zdegenerované energetické hladiny do multiplety, jako v Stark nebo Zeemanův efekt.

The indukovaná reprezentace je související operace, která tvoří reprezentaci celé skupiny z reprezentace podskupiny. Vztah mezi omezením a indukcí popisuje Frobeniova vzájemnost a Mackeyova věta. Omezení na a normální podskupina chová se obzvláště dobře a často se mu říká Cliffordova teorie po teorému A. H. Clifforda.^[1] Omezení lze zobecnit na jiné skupinové homomorfismy a další prsteny.

Pro jakoukoli skupinu G, své podskupina Ha lineární reprezentace ρ z G, omezení ρ na H, označeno

${ displaystyle rho , { velký |} _ {H}}$

je reprezentace H na stejné vektorový prostor stejnými operátory:

${ displaystyle rho , { Big |} _ {H} (h) = rho (h).}$

Klasická pravidla větvení

Klasická pravidla větvení popsat omezení neredukovatelné komplexní reprezentace (π, PROTI) a klasická skupina G do klasické podskupiny H, tj. multiplicita, s níž je neredukovatelné vyjádření (σ, Ž) z H se vyskytuje vπ. Podle Frobenius vzájemnosti pro kompaktní skupiny, to je ekvivalentní zjištění mnohosti π v jednotkové vyjádření od σ. Pravidla větvení pro klasické skupiny byla určena

• Weyl (1946) mezi po sobě jdoucími unitární skupiny;
• Murnaghan (1938) mezi po sobě jdoucími speciální ortogonální skupiny a unitární symplektické skupiny;
• Littlewood (1950) od unitárních skupin k unitárním symplektickým skupinám a speciálním ortogonálním skupinám.

Výsledky jsou obvykle vyjádřeny graficky pomocí Mladé diagramy kódovat podpisy používané klasicky k označení neredukovatelných reprezentací, známých z klasická invariantní teorie. Hermann Weyl a Richard Brauer objevil systematickou metodu pro stanovení pravidla větvení, když skupiny G a H sdílet společné maximální torus: v tomto případě Weylova skupina z H je podskupinou skupiny G, aby bylo možné pravidlo odvodit z Weylův vzorec znaků.^[2][3] Systematický moderní výklad podal Howe (1995) v kontextu jeho teorie dvojice párů. Zvláštní případ, kde σ je triviální znázornění H byl poprvé značně používán uživatelem Hua ve své práci na Szegő jádra z ohraničené symetrické domény v několik složitých proměnných, Kde Hranice Shilova má formu G/H.^[4][5] Obecněji Cartan-Helgasonova věta dává rozklad, když G/H je kompaktní symetrický prostor, v takovém případě jsou všechny multiplicity jedna;^[6] zobecnění na libovolné σ bylo mezitím získáno pomocí Kostant (2004). Podobné geometrické úvahy byly také použity Knapp (2005) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFKnapp2005 (Pomoc) přehodnotit pravidla Littlewoodu, která zahrnují oslavované Vládne Littlewood – Richardson pro tenzorování neredukovatelných reprezentací unitárních skupin.Littelmann (1995) našel zevšeobecnění těchto pravidel na svévolné kompaktní polojednoduché Lieovy skupiny pomocí svých model cesty, přístup k teorii reprezentace blízký duchu v teorii křišťálové základny z Lusztig a Kashiwara. Jeho metody přinášejí pravidla větvení omezení na podskupiny obsahující maximální torus. Studium pravidel větvení je důležité v klasické invariantní teorii a jejím moderním protějšku, algebraická kombinatorika.^[7][8]

Příklad. Unitární skupina U(N) má neredukovatelné reprezentace označené podpisy

${ displaystyle mathbf {f} , colon , f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {N}}$

Kde F_i jsou celá čísla. Ve skutečnosti, pokud jednotná matice U má vlastní čísla z_i, pak znak odpovídající neredukovatelné reprezentace π_F je dána

${ displaystyle operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f}} (U) = { det z_ {j} ^ {f_ {i} + Ni} nad prod _ {i$

Pravidlo větvení z U(N) až U(N - 1) uvádí, že

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {U (N-1)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {N-1} geq g_ {N-1} geq f_ {N}} pi _ { mathbf {g}}}$

Příklad. Jednotná symplektická skupina nebo kvartérní jednotná skupina, označeno Sp (N) nebo U(N, H), je skupina všech transformacíH^N které dojíždějí se správným násobením pomocí čtveřice H a zachovat H- oceňovaný vnitřní produkt poustevníka

${ displaystyle (q_ {1}, ldots, q_ {N}) cdot (r_ {1}, ldots, r_ {N}) = součet r_ {i} ^ {*} q_ {i}}$

na H^N, kde q* označuje konjugát čtveřice q. Realizací čtveřic jako 2 x 2 komplexních matic se skupina Sp (N) je jen skupina blokové matice (q_ij) v SU (2N) s

${ displaystyle q_ {ij} = { begin {pmatrix} alpha _ {ij} & beta _ {ij} - { overline { beta}} _ {ij} & { overline { alpha} } _ {ij} end {pmatrix}},}$

kde α_ij a β_ij jsou komplexní čísla.

Každá matice U ve Sp (N) je konjugován s blokovou diagonální maticí se vstupy

${ displaystyle q_ {i} = { begin {pmatrix} z_ {i} & 0 0 & { overline {z}} _ {i} end {pmatrix}},}$

kde |z_i| = 1. Tedy vlastní čísla U jsou (z_i^±1). Neredukovatelné reprezentace Sp (N) jsou označeny podpisy

${ displaystyle mathbf {f} , colon , f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {N} geq 0}$

Kde F_i jsou celá čísla. Charakter odpovídajícího neredukovatelného zastoupení σ_F je dána^[9]

${ displaystyle operatorname {Tr} sigma _ { mathbf {f}} (U) = { det z_ {j} ^ {f_ {i} + N-i + 1} -z_ {j} ^ {- f_ {i} -N + i-1} over prod (z_ {i} -z_ {i} ^ {- 1}) cdot prod _ {i$

Pravidlo větvení od Sp (N) do Sp (N - 1) uvádí, že^[10]

${ displaystyle sigma _ { mathbf {f}} | _ { mathrm {Sp} (N-1)} = bigoplus _ {f_ {i} geq g_ {i} geq f_ {i + 2} } m ( mathbf {f}, mathbf {g}) sigma _ { mathbf {g}}}$

Tady F_{N + 1} = 0 a multiplicita m(F, G) je dána

${ displaystyle m ( mathbf {f}, mathbf {g}) = prod _ {i = 1} ^ {N} (a_ {i} -b_ {i} +1)}$

kde

${ displaystyle a_ {1} geq b_ {1} geq a_ {2} geq b_ {2} geq cdots geq a_ {N} geq b_ {N} = 0}$

je nerostoucí přeskupení 2N nezáporná celá čísla (F_i), (G_j) a 0.

Příklad. Větvení z U (2N) do Sp (N) se opírá o dvě identity Littlewood:^{[11][12][13][14]}

${ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {f_ {1} geq f_ {2} geq f_ {N} geq 0} operatorname {Tr} Pi _ { mathbf {f}, 0 } (z_ {1}, z_ {1} ^ {- 1}, ldots, z_ {N}, z_ {N} ^ {- 1}) cdot operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f }} (t_ {1}, ldots, t_ {N}) [5pt] = {} & sum _ {f_ {1} geq f_ {2} geq f_ {N} geq 0} operatorname {Tr} sigma _ { mathbf {f}} (z_ {1}, ldots, z_ {N}) cdot operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f}} (t_ {1} , ldots, t_ {N}) cdot prod _ {i$

kde Π_F,0 je neredukovatelné zastoupení U(2N) s podpisem F₁ ≥ ··· ≥ F_N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${ displaystyle prod _ {i$

kde F_i ≥ 0.

Pravidlo větvení z U (2N) do Sp (N) je dána

${ displaystyle Pi _ { mathbf {f}, 0} | _ { mathrm {Sp} (N)} = bigoplus _ { mathbf {h}, , , mathbf {g}, , , g_ {2i-1} = g_ {2i}} M ( mathbf {g}, mathbf {h}; mathbf {f}) sigma _ { mathbf {h}}}$

kde všechny podpisy jsou nezáporné a koeficient M (G, h; k) je multiplicita neredukovatelné reprezentace π_k z U(N) v tenzorovém produktu π_G ${ displaystyle otimes}$ π_h. Je dána kombinačně pravidlem Littlewood – Richardson, počtem mřížkových permutací šikmý diagram k/h hmotnosti G.^[8]

Littelwoodovo pravidlo větvení je rozšířeno na libovolné podpisy kvůli Sundaram (1990, str. 203). Koeficienty Littlewood – Richardson M (G, h; F) jsou prodlouženy tak, aby umožňovaly podpis F mít 2N části, ale omezující G mít sudé délky sloupců (G_{2i – 1} = G_2i). V tomto případě je vzorec přečten

${ displaystyle Pi _ { mathbf {f}} | _ { operatorname {Sp} (N)} = bigoplus _ { mathbf {h}, , , mathbf {g}, , , g_ {2i-1} = g_ {2i}} M_ {N} ( mathbf {g}, mathbf {h}; mathbf {f}) sigma _ { mathbf {h}}}$

kde M_N (G, h; F) počítá počet mřížkových permutací F/h hmotnosti G se počítají, pro které 2j + 1 se neobjeví níže než řádek N + j z F pro 1 ≤ j ≤ |G|/2.

Příklad. Speciální ortogonální skupina SO (N) má neredukovatelné obyčejné a rotační reprezentace označeny podpisy^{[2][7][15][16]}

• ${ displaystyle f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq | f_ {n} |}$ pro N = 2n;
• ${ displaystyle f_ {1} geq f_ {2} geq cdots geq f_ {n} geq 0}$ pro N = 2n+1.

The F_i jsou přijímány Z pro běžné reprezentace a v ½ + Z pro rotační reprezentace. Ve skutečnosti, pokud je ortogonální matice U má vlastní čísla z_i^±1 pro 1 ≤ i ≤ n, pak znak odpovídající neredukovatelné reprezentace π_F je dána

${ displaystyle operatorname {Tr} , pi _ { mathbf {f}} (U) = { det (z_ {j} ^ {f_ {i} + ni} + z_ {j} ^ {- f_ {i} -n + i}) over prod _ {i$

pro N = 2n a tím

${ displaystyle operatorname {Tr} pi _ { mathbf {f}} (U) = { det (z_ {j} ^ {f_ {i} + 1/2 + ni} -z_ {j} ^ { -f_ {i} -1 / 2-n + i}) over prod _ {i$

pro N = 2n+1.

Pravidla větvení z SO (N) na SO (N - 1) uveďte to^[17]

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {SO (2n)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq g_ {n-1} geq f_ {n} geq | g_ {n} |} pi _ { mathbf {g}}}$

pro N = 2n + 1 a

${ displaystyle pi _ { mathbf {f}} | _ {SO (2n-1)} = bigoplus _ {f_ {1} geq g_ {1} geq f_ {2} geq g_ {2} geq cdots geq f_ {n-1} geq g_ {n-1} geq | f_ {n} |} pi _ { mathbf {g}}}$

pro N = 2nkde jsou rozdíly F_i − G_i musí být celá čísla.

Gelfand – Tsetlin základ

Vzhledem k tomu, větvení pravidla z U(N) tobě(N - 1) nebo SO (N) na SO (N - 1) mají multiplicitu jedna, neredukovatelné součty odpovídají menším a menším N nakonec skončí v jednorozměrných podprostorech. Takto Gelfand a Tsetlin dokázali získat základ jakéhokoli neredukovatelného zastoupení U (N) nebo tak(N) označený řetězcem prokládaných podpisů, nazývaný a Gelfand – Tsetlinův vzor.Explicitní vzorce pro působení Lieovy algebry na Gelfand – Tsetlin základ jsou uvedeny v Želobenko (1973).

Pro zbývající klasickou skupinu Sp (N), větvení již není multiplicita zdarma, takže pokud PROTI a Ž jsou neredukovatelné zastoupení Sp (N - 1) a Sp (N) prostor intertwiners Hom_{Sp (N – 1)}(PROTI,Ž) může mít rozměr větší než jeden. Ukazuje se, že Yangian Y(${ displaystyle { mathfrak {gl}}}$₂), a Hopfova algebra představil Ludwig Faddeev a spolupracovníci, působí neredukovatelně na tento prostor multiplicity, což je skutečnost, která umožnila Molev (2006) rozšířit stavbu základen Gelfand – Tsetlin na Sp (N).^[18]

Cliffordova věta

V roce 1937 Alfred H. Clifford prokázal následující výsledek na omezení konečně-dimenzionálních neredukovatelných reprezentací ze skupiny G do normální podskupiny N konečný index:^[19]

Teorém. Nechat π: G ${ displaystyle rightarrow}$ GL (n,K.) být neredukovatelným zastoupením K. A pole. Pak omezení π na N se rozpadá na přímý součet nerovnocenných neredukovatelných reprezentací N stejných rozměrů. Tyto neredukovatelné reprezentace N ležet na jedné oběžné dráze pro akci G konjugací na třídách ekvivalence neredukovatelných reprezentací N. Zejména počet odlišných sčítání není větší než index N vG.

O dvacet let později George Mackey našel přesnější verzi tohoto výsledku pro omezení neredukovatelného unitární reprezentace z místně kompaktní skupiny do uzavřených normálních podskupin v tzv. „Mackeyově stroji“ nebo „Mackeyově normální analýze podskupin“.^[20]

Abstraktní algebraické prostředí

Z pohledu teorie kategorií, omezení je instancí a zapomnětlivý funktor. Tento funktor je přesný, a jeho levý adjunkční funktor je nazýván indukce. Vztah mezi omezením a indukcí v různých kontextech se nazývá Frobeniova vzájemnost. Dohromady operace indukce a omezení tvoří výkonnou sadu nástrojů pro analýzu reprezentací. To platí zejména, kdykoli mají reprezentace vlastnost úplná redukovatelnost například v teorie reprezentace konečných grup přes pole z charakteristická nula.

Zobecnění

Tuto poměrně zjevnou konstrukci lze rozšířit mnoha a významnými způsoby. Například můžeme vzít jakoukoli skupinovou homomorfizaci φ H na G, místo toho mapa zařazení a definovat omezené zastoupení H podle složení

${ displaystyle rho circ varphi ,}$

Tuto myšlenku můžeme použít i na jiné kategorie v abstraktní algebra: asociativní algebry, kroužky, Lež algebry, Lež superalgebry „Hopfovy algebry abychom jmenovali alespoň některé. Zastoupení nebo moduly omezit na podobjekty nebo prostřednictvím homomorfismů.

Poznámky

Reference

• Goodman, Roe; Wallach, Nolan (1998), Zastoupení a invarianty klasických skupin, Encyclopedia Math. Appl., 68, Cambridge University Press
• Helgason, Sigurdur (1978), Diferenciální geometrie, Lieovy grupy a symetrické prostory, Academic Press
• Helgason, Sigurdur (1984), Skupiny a geometrická analýza: Integrovaná geometrie, invariantní diferenciální operátory a sférické funkceČistá a aplikovaná matematika, 113Akademický tisk, ISBN  978-0-12-338301-3
• Howe, Rogere (1995), Perspectives on invariant theory, The Schur Lectures, 1992, Israel Math. Konf. Proc., 8, American Mathematical Society, s. 1–182
• Howe, Rogere; Tan, Eng-Chye; Willenbring, Jeb F. (2005), „Stabilní pravidla větvení pro klasické symetrické páry“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 357 (4): 1601–1626, doi:10.1090 / S0002-9947-04-03722-5
• Hua, L.K. (1963), Harmonická analýza funkcí několika komplexních proměnných v klasických doménách, Americká matematická společnost
• Knapp, Anthony W. (2003), „Geometrické interpretace dvou větvících se vět D. E. Littlewooda“, Journal of Algebra, 270 (2): 728–754, doi:10.1016 / j.jalgebra.2002.11.001
• Koike, Kazuhiko; Terada, Itaru (1987), „Young-diagrammatické metody pro teorii reprezentace klasických skupin typu B_n, C._n, D_n", Journal of Algebra, 107 (2): 466–511, doi:10.1016/0021-8693(87)90099-8
• Kostant, Betram (2004), Zákon větvení pro podskupiny fixované involucí a nekompaktní analog Borel-Weilovy věty, Progr. Matematika., 220, Birkhäuser, str. 291–353, arXiv:math.RT / 0205283, Bibcode:2002math ...... 5283 tis
• Littelmann, Peter (1995), „Cesty a kořenové operátory v teorii reprezentace“, Annals of Mathematics, 142 (3): 499–525, doi:10.2307/2118553, JSTOR  2118553
• Littlewood, Dudley E. (1950), „Teorie skupinových postav a maticová reprezentace skupin“, Příroda, 146 (3709): 699, Bibcode:1940Natur.146..699H, doi:10.1038 / 146699a0
• Macdonald, Ian G. (1979), Symetrické funkce a Hallovy polynomy, Oxford University Press
• Molev, A. I. (1999), „Základ pro reprezentace symplektických Lieových algeber“, Comm. Matematika. Phys., 201 (3): 591–618, arXiv:matematika / 9804127, Bibcode:1999CMaPh.201..591M, doi:10,1007 / s002200050570
• Molev, A. I. (2006), „Gelfand-Tsetlinovy ​​základy pro klasické Lieovy algebry“, V „Příručce algebry“, sv. 4, (M. Hazewinkel, ed.), Elsevier, str. 109-170Příručka algebry, Elsevier, 4: 109–170, arXiv:matematika / 0211289, Bibcode:2002math ..... 11289M, ISBN  978-0-444-52213-9
• Murnaghan, Francis D. (1938), Teorie skupinových zastoupení, Johns Hopkins Press
• Slansky, Richard (1981), „Skupinová teorie pro Unified Model Building“, Fyzikální zprávy, 79 (1): 1–128, Bibcode:1981PhR .... 79 .... 1S, CiteSeerX  10.1.1.126.1581, doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2 dostupný online
• Sundaram, Sheila (1990), „Tableaux v teorii reprezentace klasických Lieových skupin“, Ústav pro matematiku a její aplikace, IMA sv. Matematika. Appl., 19: 191–225, Bibcode:1990IMA .... 19..191S
• Weyl, Hermann (1946), Klasické skupiny, Princeton University Press
• Želobenko, D. P. (1973), Kompaktní Lieovy skupiny a jejich reprezentacePřeklady matematických monografií, 40, Americká matematická společnost